Como definir uma distribuição tal que extrai dela se correlaciona com um empate de outra distribuição pré-especificada?

Como defino a distribuição de uma variável aleatória modo que um empate de tenha correlação com , onde é um empate único de uma distribuição com função de distribuição cumulativa ? $Y$ $Y$ $\rho$ $x_1$ $x_1$ $F_{X}(x)$

— OctaviaQ
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Os seguintes Qs estão fortemente relacionados e serão de interesse: Como gerar números aleatórios correlacionados (determinadas médias e variações de grau de correlação) e Gerar uma variável aleatória com uma correlação definida para uma variável existente .

— gung - Restabelece Monica

Você pode defini-lo em termos de um mecanismo de geração de dados. Por exemplo, se e $X \sim F_{X}$

Y = ρ X + \sqrt{1 - ρ^{2}} Z

$Y = \rho X + \sqrt{1 - \rho^{2}} Z$

onde e é independente de , então, $Z \sim F_{X}$ $X$

c o v (X, Y) = c o v (X, ρ X) = ρ \cdot v a r (X)

${\rm cov}(X,Y) = {\rm cov}(X, \rho X) = \rho \cdot {\rm var}(X)$

De referir ainda que uma vez que tem a mesma distribuição que . Portanto, ${\rm var}(Y) = {\rm var}(X)$ $Z$ $X$

c o r (X, Y) = \frac{c o v (X, Y)}{\sqrt{v a r (X)^{2}}} = ρ

${\rm cor}(X,Y) = \frac{ {\rm cov}(X,Y) }{ \sqrt{ {\rm var}(X)^{2} } } = \rho$

Então, se você pode gerar dados de , você pode gerar uma variável, , que tem uma correlação especificado com . Observe, no entanto, que a distribuição marginal de será apenas no caso especial em que é a distribuição normal (ou alguma outra distribuição aditiva). Isso se deve ao fato de que somas de variáveis normalmente distribuídas são normais; isso não é uma propriedade geral de distribuições. No caso geral, você terá que calcular a distribuição de calculando a convolução (adequadamente dimensionada) da densidade correspondente a consigo mesma. $F_{X}$ $Y$ $(\rho)$ $X$ $Y$ $F_{X}$ $F_{X}$ $Y$ $F_{X}$

— Macro
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+1 resposta muito boa. Nitpick: na última linha, você precisa versões em escala do .

F_{X}

$F_X$

— whuber

Muito obrigado, Macro. Apenas para esclarecer uma coisa - você quer dizer, no seu último parágrafo, que seria necessário envolver o rho * X com o sqrt (1 - rho ^ 2) * X? (desculpe, eu não poderia obter qualquer formatação, mesmo HTML para trabalhar neste comentário particular)

— OctaviaQ

Convolve as densidades correspondentes para as distribuições de com a distribuição de . Isso é resultado do fato geral de que a densidade da soma de duas variáveis aleatórias contínuas é a convolução das duas densidades.

ρ X

$\rho X$

\sqrt{1 - ρ^{2}} X

$\sqrt{1 - \rho^{2}} X$

— Macro

Há muito tempo, mas ... idéias de como fazer isso, também reforçando a distribuição marginal de Y?

— Julián Urbano