pdf de um produto de duas variáveis ​​aleatórias uniformes independentes

Seja ~ e ~ sejam duas variáveis ​​aleatórias independentes com as distribuições dadas. Qual é a distribuição de ?$X$$U(0,2)$$Y$$U(-10,10)$$V=XY$

Eu tentei convolução, sabendo que

$$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$$

Também sabemos que , $f_Y(y) = \frac{1}{20}$

$$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$$ $$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$$

Algo me diz que há algo estranho aqui, pois é descontínuo em 0. Por favor, ajude.

Uma resposta fina, rigorosa e elegante já foi publicada. O objetivo deste é obter o mesmo resultado de uma maneira que pode ser um pouco mais reveladora da estrutura subjacente de . Mostra por que a função de densidade de probabilidade (pdf) deve ser singular em .$XY$$0$

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Muito pode ser realizado concentrando-se nas formas das distribuições de componentes :

• $X$ é duas vezes uma variável aleatória . é uma forma padrão "agradável" característica de todas as distribuições uniformes.$U(0,1)$$U(0,1)$

• $|Y|$é dez vezes uma variável aleatória .$U(0,1)$

• O sinal de segue uma distribuição de Rademacher: é igual a ou , cada um com probabilidade .$Y$$-1$$1$$1/2$

(Esta última etapa converte uma variável não negativa em uma distribuição simétrica em torno de , cujas caudas se parecem com a distribuição original.)$0$

Portanto, (a) é simétrico em torno de e (b) seu valor absoluto é vezes o produto de duas variáveis ​​aleatórias independentes.$XY$$0$$2\times 10=20$$U(0,1)$

Os produtos geralmente são simplificados usando logaritmos. De fato, é sabido que o log negativo de uma variável possui uma distribuição exponencial (porque essa é a maneira mais simples de gerar variáveis ​​exponenciais aleatórias), de onde o log negativo do produto de duas delas tem a distribuição da soma de dois exponenciais. O exponencial é uma distribuição . É fácil adicionar distribuições gama com o mesmo parâmetro de escala: basta adicionar os parâmetros de forma. Um , mais um , portanto, tem uma variável aleatória distribuição. Consequentemente$U(0,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(2,1)$

A variável aleatória é a versão simétrica de vezes o exponencial do negativo de uma variável .$XY$$20$$\Gamma(2,1)$

A construção do PDF de partir de uma distribuição é mostrada da esquerda para a direita, procedendo do uniforme, ao exponencial, ao , ao exponencial de seu valor negativo. , para a mesma coisa com escala de e, finalmente, a versão simétrica disso. Seu PDF é infinito em , confirmando a descontinuidade lá.$XY$$U(0,1)$$\Gamma(2,1)$$20$$0$

Podemos nos contentar em parar por aqui. Por exemplo, essa caracterização nos fornece uma maneira de gerar realizações de diretamente, como nesta expressão:$XY$R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

Essa análise também revela por que o pdf explode em . $0$ Essa singularidade apareceu pela primeira vez quando consideramos o exponencial (negativo distribuição a , correspondendo à multiplicação de uma variável por outra. Os valores dentro de (digamos) de surgem de várias maneiras, incluindo (mas não limitado a) quando (a) um dos fatores é menor que ou (b) ambos os fatores são menores que . Essa raiz quadrada é enormemente maior que quando está próximo de$\Gamma(2,1)$$U(0,1)$$\varepsilon$$0$$\varepsilon$$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$\varepsilon$$0$. Isso força muita probabilidade, em uma quantidade maior que , a ser em um intervalo de comprimento . Para que isso seja possível, a densidade do produto deve se tornar arbitrariamente grande em . As manipulações subseqüentes - redimensionadas por um fator de e simétricas - obviamente não eliminarão essa singularidade.$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$0$$20$

Essa caracterização descritiva da resposta também leva diretamente a fórmulas com um mínimo de confusão, mostrando que é completa e rigorosa. Por exemplo, para obter o pdf de , comece com o elemento de probabilidade de uma distribuição ,$XY$$\Gamma(2,1)$

$$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$$

Deixar implica e . Essa transformação também inverte a ordem: valores maiores de levam a valores menores de . Por esse motivo, devemos negar o resultado após a substituição, dando$t=-\log(z)$$dt = -d(\log(z)) = -dz/z$$0 \lt z \lt 1$$t$$z$

$$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$$

O fator de escala de converte isso em$20$

$$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$$

Finalmente, a simetrização substitui por, permite que seus valores variem agora de a e divide o pdf por para distribuir a probabilidade total igualmente entre os intervalos e :$z$$|z|$$-20$$20$$2$$(-20,0)$$(0,20)$

$$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$$

Em sua derivação, você não usar a densidade de . Desde , portanto, em sua fórmula de convolução (eu também corrigi o jacobiano adicionando o valor absoluto). Conseqüentemente, $X$$X\sim\mathcal{U}(0,2)$

$$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$$ $$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$$ $$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$$ Aqui é uma confirmação por simulação do resultado:

obtido como

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)