Calcular quantil da soma das distribuições de quantis específicos

Vamos supor variáveis aleatórias independentes para as quais os quantis em algum nível específico são conhecidos por estimativa a partir dos dados: , ..., . Agora vamos definir a variável aleatória como a soma . Existe uma maneira de calcular o valor do quantil da soma no nível , ou seja, em ? $N$ $X_1, ..., X_N$ $\alpha$ $\alpha = P(X_1 < q_1)$ $\alpha = P(X_N < q_N)$ $Z$ $Z = \sum_{i=1}^N X_i$ $\alpha$ $q_z$ $\alpha = P(Z < q_Z)$

Penso que em casos particulares, como se o segue uma distribuição gaussiana isso é fácil, mas não tenho tanta certeza do caso em que a distribuição do é desconhecida. Alguma ideia? $X_i$ $\forall i$ $X_i$

quantiles

— albarji
fonte

estes são estimados a partir de dados ou teoricamente conhecidos?

q_{i}

$q_i$

— chuse 26/01

Isso não é possível sem fazer suposições específicas sobre as distribuições do . Você tem uma família de distribuições em mente?

X_{i}

$X_i$

— whuber

@chuse o é estimado a partir de dados, pois a distribuição do não é conhecida, mas há amostras disponíveis. Eu atualizei a pergunta com esse fato.

q_{i}

$q_i$

X_{i}

$X_i$

— Albarji 27/01

@whuber Não tenho conhecimento prévio sobre a família de distribuições que o pode estar seguindo, embora haja amostras de dados disponíveis. Assumir que uma família de distribuições (além de Gaussian) tornaria isso mais fácil?

X_{i}

$X_i$

— precisa saber é o seguinte

$q_Z$ poderia ser qualquer coisa.

Para entender essa situação, vamos fazer uma simplificação preliminar. Ao trabalhar com , obtemos uma caracterização mais uniforme $Y_i = X_i - q_i$

α = Pr (X_{i} \leq q_{i}) = Pr (Y_{i} \leq 0) .

$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$

Ou seja, cada tem a mesma probabilidade de ser negativo. Porque $Y_i$

W = \sum_{i} Y_{i} = \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} q_{i} = Z - \sum_{i} q_{i},

$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$

a equação que define para é equivalente a $q_Z$

α = Pr (Z \leq q_{Z}) = Pr (Z - \sum_{i} q_{i} \leq q_{Z} - \sum_{i} q_{i}) = Pr (W \leq q_{W})

$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$

com . $q_Z = q_W + \sum_i q_i$

Quais são os valores possíveis de ? Considere o caso em que todos os têm a mesma distribuição com toda a probabilidade em dois valores, um deles negativo ( ) e o outro positivo ( ). Os possíveis valores da soma são limitados a para . Cada um destes ocorre com probabilidade $q_W$ $Y_i$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ $k=0, 1, \ldots, n$

{Pr}_{W} (k y_{-} + (n - k) y_{+}) = (\binom{n}{k}) α^{k} (1 - α)^{n - k} .

${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$

Os extremos podem ser encontrados por

Escolhendo e para que ; e vai fazer isso. Isso garante que será negativo, exceto quando todos os forem positivos. Essa chance é igual a . Excede quando , implicando que o quantil de deve ser estritamente negativo. $y_{-}$ $y_{+}$ $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$ $y_{-}=-n$ $y_{+}=1$ $W$ $Y_i$ $1 - (1-\alpha)^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$
Escolhendo e para que ; e farão isso. Isso garante que será negativo somente quando todos os forem negativos. Essa chance é igual a . É menor que quando , implicando que o quantil de deve ser estritamente positivo. $y_{-}$ $y_{+}$ $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$ $y_{-}=-1$ $y_{+}=n$ $W$ $Y_i$ $\alpha^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$

Isso mostra que o quantil de pode ser negativo ou positivo, mas não é zero. Qual poderia ser o seu tamanho? Ele deve ser igual a alguma combinação linear integral de e . Tornar esses dois valores inteiros garante que todos os valores possíveis de sejam integrais. Ao escalar por um número positivo arbitrário , podemos garantir que todas as combinações lineares integrais de e são múltiplos integrais de . Como , ele deve ter pelo menos em tamanho . Consequentemente, $\alpha$ $W$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $y_{\pm}$ $s$ $y_{-}$ $y_{+}$ $s$ $q_W \ne 0$ $s$ os possíveis valores de (e de onde ) são ilimitados, $q_W$ $q_Z$ não importa o que possa ser igual. $n\gt 1$

A única maneira de obter qualquer informação sobre seria fazer restrições específicas e fortes nas distribuições do , a fim de impedir e limitar o tipo de distribuição desequilibrada usada para obter esse resultado negativo. $q_Z$ $X_i$

— whuber
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Muito obrigado @whuber, pelo exemplo explicativo e ilustrativo. Embora a resposta seja negativa, não posso dizer que isso foi inesperado. Em seguida, tentarei descobrir qual família de distribuições combina com meus dados e ver se com isso posso calcular os quantis da soma.

— albarji