Intuição para momentos mais altos nas estatísticas circulares

Nas estatísticas circulares, o valor esperado de uma variável aleatória $Z$ com valores no círculo é definido como (consulte a Wikipedia ). Essa é uma definição muito natural, assim como a definição da variação Portanto, não precisamos de um segundo momento para definir a variação! $S$

m_{1} (Z) = \int_{S} z P^{Z} (θ) d θ

$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$

V uma r (Z) = 1 - | m_{1} (Z) | .

$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$

No entanto, definimos os momentos superiores Admito que isso pareça bastante natural à primeira vista e muito semelhante à definição em estatística linear. Mas ainda me sinto um pouco desconfortável e tenho o seguinte

m_{n} (Z) = \int_{S} z^{n} P^{Z} (θ) d θ .

$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$

Questões:

1. O que é medido pelos momentos superiores definidos acima (intuitivamente)? Quais propriedades da distribuição podem ser caracterizadas por seus momentos?

2. Na computação dos momentos superiores, usamos a multiplicação de números complexos, embora pensemos nos valores de nossas variáveis aleatórias apenas como vetores no plano ou como ângulos. Eu sei que a multiplicação complexa é essencialmente a adição de ângulos neste caso, mas ainda assim: Por que a multiplicação complexa é uma operação significativa para dados circulares?

— Rasmus
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$P^Z$ $Z$ $1$ $Z$ $[0,2\pi)$

Quanto à sua segunda pergunta, acho que você já deu a resposta: "multiplicação complexa é essencialmente adição de ângulos neste caso".

— Mark Meckes
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Obrigado, isso é realmente útil. (Shame on me por não reconhecer uma série de Fourier, mesmo quando empurrando-os para ele ...)

— Rasmus

Isso significa que os momentos de uma distribuição circular devem ser comparados com a função característica de uma distribuição linear e não com seus momentos?

— Rasmus

@ Rasmus: Eu acho que depende exatamente do que você quer fazer com as informações, mas em geral eu diria que sim.

— Mark Meckes