Que converge mais rápido, médio ou mediano?

Se eu desenhar variáveis iid de N (0,1), a média ou a mediana convergirão mais rapidamente? Quão rápido?

Para ser mais específico, seja $x_1, x_2, \ldots$ uma sequência de variáveis iid extraídas de N (0,1). Definir $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ , e $\tilde{x}_n$ ser a média de $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$ . Que converge para 0 mais rápido, $\{\bar{x}_n\}$ ou $\{\tilde{x}_n\}$ ?

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

normal-distribution mean median

— Josh Brown Kramer
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Você está perguntando sobre a convergência na probabilidade de uma estimativa pontual em relação ao parâmetro populacional? Ou você está perguntando sobre a convergência na distribuição de uma variável aleatória?

— Ryan Simmons

Por "convergir mais rápido para 0", você quer dizer "qual tem a menor variação assintótica" ou algo mais?

— Glen_b -Reinstala Monica

@Glen_b Até certo ponto, isso é motivado por um problema real: a mediana é mais robusta em relação aos valores discrepantes, portanto parece que a mediana da amostra deve convergir mais rapidamente que a média à medida que o tamanho da amostra aumenta. Realmente não sei qual é a melhor maneira de expressar a taxa de convergência nessa situação. Para concretização, eu poderia perguntar se existe e, em caso afirmativo, o que é.

lim_{n \to \infty} V a r ({\bar{X}}_{n}) / V a r ({\tilde{X}}_{n})

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

— Josh Brown Kramer

Se os dados são realmente amostrados a partir de uma distribuição normal, os valores extremos são extremamente raros - tão raros que o impacto na média deixa a amostra média como a estimativa mais eficiente da média da população. Mas você não precisa de uma cauda pesada variada para tornar a mediana competitiva. Essa proporção que você mencionou será de cerca de 0,63

— Glen_b -Reinstate Monica

A média e a mediana são as mesmas, neste caso específico. Sabe-se que a mediana é 64% eficiente como a média; portanto, a média é mais rápida para convergir. Posso escrever mais detalhes, mas a Wikipedia lida exatamente com sua pergunta.

— Yair Daon
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Você tem uma citação?

— Josh Brown Kramer

Laplace, PSde (1818) Deuxième suplemento à Théorie Analytique des Probabilités , Paris, Courcier - Laplace fornece a distribuição assintótica para média e mediana. Veja também a seção sobre variação da mediana na Wikipedia

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: (+1) a referência definitiva !!!

— Xian

@Glen_b sim, isso foi uma resposta épica, eu ri bastante. Obrigado por isso!

— user541686

@ xi'an, você quis escrever que a média e a mediana são da mesma quantidade?

— Yair Daon