Como entender que o MLE de variância é enviesado em uma distribuição gaussiana?

Ilustração em PRML de como surge o viés no uso da máxima probabilidade para determinar a variação de um Gaussiano

Estou lendo PRML e não entendo a imagem. Poderia, por favor, dar algumas dicas para entender a imagem e por que o MLE de variação em uma distribuição gaussiana é tendencioso?

1,55 fórmula: fórmula 1,56

μ_{M L E} = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} x_{n}

$\mu_{MLE}=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N x_n$

σ_{M L E}^{2} = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} (x_{n} - μ_{M L E})^{2}

$\sigma_{MLE}^2=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}(x_n-\mu_{MLE})^2$

machine-learning self-study maximum-likelihood

— ningyuwhut
fonte

Por favor, adicione a etiqueta de auto-estudo.

— StatsStudent

por que, para cada gráfico, apenas um ponto de dados azul é visível para mim? btw, enquanto eu estava tentando editar o estouro de dois subscritos neste post, o sistema requer "pelo menos 6 caracteres" ... embaraçoso.

— Zhanxiong 07/02

O que você realmente deseja entender, a imagem ou por que a estimativa de variação do MLE é tendenciosa? O primeiro é muito confuso, mas posso explicar o segundo.

— TrynnaDoStat

sim, eu encontrei na nova versão cada gráfico tem dois dados azuis, meu pdf é velho

— ningyuwhut

@TrynnaDoStat desculpe pela minha pergunta não está clara. o que eu quero saber é por que a estimativa de variância do MLE é tendenciosa. e como isso é expresso neste gráfico

— ningyuwhut 07/02

Intuição

$E[\bar{x}^2]$ $\mu^2$ $E[\bar{x}^2]$ $\mu^2$ $\mu$ $\bar{x}$ $\mu$ por um número negativo) também é elevado ao quadrado e, portanto, se torna positivo. Assim, ele não cancela mais e há uma leve tendência a superestimar.

$x^2$ $\mu^2$ $E[x^2]$

Vamos provar que o MLE de variação para uma amostra de iid é tendencioso. Em seguida, verificaremos analiticamente nossa intuição.

Prova

$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N}\sum_{n = 1}^N (x_n - \bar{x})^2$

$E[\hat{\sigma}^2] \neq \sigma^2$

E [{\hat{σ}}^{2}] = E [\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} (x_{n} - \bar{x})^{2}] = \frac{1}{N} E [\sum_{n = 1}^{N} (x_{n}^{2} - 2 x_{n} \bar{x} + {\bar{x}}^{2})] = \frac{1}{N} E [\sum_{n = 1}^{N} x_{n}^{2} - \sum_{n = 1}^{N} 2 x_{n} \bar{x} + \sum_{n = 1}^{N} {\bar{x}}^{2}]

$E[\hat{\sigma}^2] = E[\frac{1}{N}\sum_{n = 1}^N (x_n - \bar{x})^2] = \frac{1}{N}E[\sum_{n = 1}^N (x_n^2 - 2x_n\bar{x} + \bar{x}^2)] = \frac{1}{N}E[\sum_{n = 1}^N x_n^2 - \sum_{n = 1}^N 2x_n\bar{x} + \sum_{n = 1}^N \bar{x}^2]$

$\sum_{n = 1}^N x_n = N\bar{x}$ $\sum_{n = 1}^N \bar{x}^2 = N\bar{x}^2$

\frac{1}{N} E [\sum_{n = 1}^{N} x_{n}^{2} - \sum_{n = 1}^{N} 2 x_{n} \bar{x} + \sum_{n = 1}^{N} {\bar{x}}^{2}] = \frac{1}{N} E [\sum_{n = 1}^{N} x_{n}^{2} - 2 N {\bar{x}}^{2} + N {\bar{x}}^{2}] = \frac{1}{N} E [\sum_{n = 1}^{N} x_{n}^{2} - N {\bar{x}}^{2}] = \frac{1}{N} E [\sum_{n = 1}^{N} x_{n}^{2}] - E [{\bar{x}}^{2}] = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [x_{n}^{2}] - E [{\bar{x}}^{2}] = E [x_{n}^{2}] - E [{\bar{x}}^{2}]

$\frac{1}{N}E[\sum_{n = 1}^N x_n^2 - \sum_{n = 1}^N 2x_n\bar{x} + \sum_{n = 1}^N \bar{x}^2] = \frac{1}{N}E[\sum_{n = 1}^N x_n^2 - 2N\bar{x}^2 + N\bar{x}^2]=\frac{1}{N}E[\sum_{n = 1}^N x_n^2 - N\bar{x}^2] = \frac{1}{N}E[\sum_{n = 1}^N x_n^2] - E[\bar{x}^2] = \frac{1}{N}\sum_{n = 1}^N E[x_n^2] - E[\bar{x}^2] \\= E[x_n^2] - E[\bar{x}^2]$

$E[x_n^2]$ $n$

$\sigma^2_x = E[x^2] - E[x]^2$

E [x_{n}^{2}] - E [{\bar{x}}^{2}] = σ_{x}^{2} + E [x_{n}]^{2} - σ_{\bar{x}}^{2} - E [x_{n}]^{2} = σ_{x}^{2} - σ_{\bar{x}}^{2} = σ_{x}^{2} - V a r (\bar{x}) = σ_{x}^{2} - V a r (\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} x_{n}) = σ_{x}^{2} - (\frac{1}{N})^{2} V a r (\sum_{n = 1}^{N} x_{n})

$E[x_n^2] - E[\bar{x}^2] = \sigma^2_x + E[x_n]^2 - \sigma^2_\bar{x} - E[x_n]^2 = \sigma^2_x - \sigma^2_\bar{x} = \sigma^2_x - Var(\bar{x}) = \sigma^2_x - Var(\frac{1}{N}\sum_{n = 1}^Nx_n) = \sigma^2_x - \bigg(\frac{1}{N}\bigg)^2Var(\sum_{n = 1}^Nx_n)$

$\frac{1}{N}$ $Var()$

σ_{x}^{2} - (\frac{1}{N})^{2} V a r (\sum_{n = 1}^{N} x_{n}) = σ_{x}^{2} - (\frac{1}{N})^{2} N σ_{x}^{2} = σ_{x}^{2} - \frac{1}{N} σ_{x}^{2} = \frac{N - 1}{N} σ_{x}^{2}

$\sigma^2_x - \bigg(\frac{1}{N}\bigg)^2Var(\sum_{n = 1}^Nx_n) = \sigma^2_x - \bigg(\frac{1}{N}\bigg)^2N \sigma^2_x = \sigma^2_x - \frac{1}{N}\sigma^2_x = \frac{N-1}{N}\sigma^2_x$

$\sigma_x^2$

Verifique analiticamente nossa intuição

$\mu$ $\mu$ $\mu^2$ $E[\bar{x}^2]$ $\hat{\sigma}^2$

$\hat{\sigma}_\mu^2 = \frac{1}{N}\sum_{n = 1}^N (x_n - \mu)^2$

$E[x_n^2] - E[\bar{x}^2]$ $\bar{x}$ $\mu$

E [x_{n}^{2}] - E [μ^{2}] = E [x_{n}^{2}] - μ^{2} = σ_{x}^{2} + E [x_{n}]^{2} - μ^{2} = σ_{x}^{2}

$E[x_n^2] - E[\mu^2] = E[x_n^2] - \mu^2 = \sigma^2_x + E[x_n]^2 - \mu^2= \sigma^2_x$

que é imparcial!

— TrynnaDoStat
fonte

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Obrigado pela sua explicação. Eu preciso de algum tempo para entendê-lo. Além disso, encontrei algum erro nas equações. Você pode verificá-lo? Obrigado!

— ningyuwhut

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