Distribuição do máximo de duas variáveis ​​normais correlacionadas

Digamos que tenho duas variáveis ​​aleatórias normais padrão e que são conjuntamente normais com o coeficiente de correlação .X $X_1$$X_2$$r$

Qual é a função de distribuição de ?$\max(X_1, X_2)$

De acordo com Nadarajah e Kotz, 2008 , Distribuição exata das máximas / mínimas de duas variáveis ​​aleatórias gaussianas , o PDF de $X = \max(X_1, X_2)$ parece ser

$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$

onde $\phi$ é o PDF e $\Phi$ é o CDF da distribuição normal padrão.

$\hskip2in$

Seja o PDF normal bivariado para com marginais padrão e correlação . O CDF do máximo é, por definição, ( X , Y ) $f_\rho$$(X,Y)$$\rho$

$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$

O PDF normal bivariado é simétrico (via reflexão) em torno da diagonal. Assim, aumentar a adiciona duas tiras de probabilidade equivalente ao quadrado semi-infinito original: o superior infinitesimalmente grosso é enquanto sua contrapartida refletida, o faixa direita, é .z + d z ( - ∞ , z ] × ( z , z + d z $z$$z+dz$$(-\infty, z]\times (z, z+dz]$$(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

A densidade de probabilidade da faixa da direita é a densidade de em vezes a probabilidade condicional total de que esteja na faixa, . A distribuição condicional de é sempre Normal, portanto, para encontrar essa probabilidade condicional total, precisamos apenas da média e variância. A média condicional de em é a previsão de regressão e a variação condicional é a variação "inexplicável" .z Y Pr ( Y ≤ $X$$z$$Y$Y Y X ρ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$$Y$$Y$$X$$\rho X$$\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

Agora que sabemos a média e a variância condicionais, o CDF condicional de dado pode ser obtido padronizando e aplicando o CDF normal :X Y $Y$$X$$Y$$\Phi$

$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$

Avaliando esta em e e multiplicando pela densidade de em (um padrão de pdf normal ) dá a densidade de probabilidade do segundo (do lado direito) tira$y=z$X z $X=z$$X$$z$$\phi$

$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$

Dobrar isso explica a faixa superior equivalente, fornecendo o PDF do máximo como

$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$

Recapitulação

Eu pintei os fatores para significar suas origens: para as duas tiras simétricas; para as larguras infinitesimais da faixa; e para os comprimentos das tiras. O argumento deste último, , é apenas uma versão padronizada de condicional a .ϕ ( z ) Φ ( ⋯ ) 1 - $\color{blue}2$$\color{black}{\phi(z)}$$\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$Y=zX=$\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$$Y=z$$X=z$