Limite superior em em que e

$X$ é uma variável aleatória discreta que pode assumir valores de $(0,1)$ . Como $\varphi(x)=1/x$ é uma função convexa, podemos usar a desigualdade de Jensen para derivar um limite inferior :

E [\frac{1}{1 - X}] \geq \frac{1}{1 - E [X]} = \frac{1}{1 - a}

$E\left[\frac{1}{1-X}\right]\ge \frac{1}{1-E[X]}=\frac{1}{1-a}$ É possível derivar um limite superior ?

probability expected-value bounds

— Mike
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Considere o que acontece quando X tem um limite superior que se aproxima de 1 a partir de baixo. Agora considere uma distribuição que inclua 1 com densidade diferente de zero. Agora considere uma distribuição discreta, onde 1 tem probabilidade diferente de zero. Você pode querer começar com algumas restrições

— Glen_b -Reinstar Monica

Uma generalização dessa pergunta pode ser aplicada à variável aleatória

1 - X

$1-X$ com a expectativa

1 - a

$1-a$ para obter a resposta imediatamente: consulte stats.stackexchange.com/questions/141766 . A desigualdade fornecida lá é pequena: isto é, o limite superior é atingível. Ele fornece um limite superior útil (não-infinito) se o supremo de

X

$X$ for menor que

1

$1$ .

— whuber

Não há limite superior.

Intuitivamente, se tiver suporte substancial ao longo de uma sequência que se aproxima de , então poderá ter uma expectativa divergente (arbitrariamente grande). Para mostrar que não há limite superior, tudo o que precisamos fazer é encontrar uma combinação de suporte e probabilidades que atinja a expectativa desejada de . A seguir constrói explicitamente tal . $X$ $1$ $1/(1-X)$ $a$ $X$

Suponha (a ser escolhido posteriormente) e (também a ser escolhido posteriormente). Seja os valores com probabilidades . Então $0 \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $X$

a_{n} = 1 - λ n^{- s}

$a_n = 1 - \lambda n^{-s}$

p_{n} = \frac{n^{- s}}{ζ (s)},

$p_n = \frac{n^{-s}}{\zeta(s)},$

n = 1, 2, \dots

$n = 1, 2, \ldots$

a = E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} a_{n} = \frac{1}{ζ (s)} \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s} (1 - λ n^{- s}) = 1 - λ \frac{ζ (2 s)}{ζ (s)} .

$a = \mathbb{E}(X) = \sum_{n=1}^\infty p_n a_n = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\left(1 - \lambda n^{-s}\right) = 1 - \lambda \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.$

O intervalo de é o intervalo , pois este gráfico parcial indica: $f(s) = \zeta(2s)/\zeta(s)$ $(0,1)$

Figura da relação zeta

Selecionando forma que , escolha para o qual ; isto é, . Isso constrói um com todas as propriedades declaradas. $\lambda$ $1-a \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $f(s) = (1-a)/\lambda$ $a = 1 - \lambda f(s)$ $X$

Considerar

E (\frac{1}{1 - X}) = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \frac{n^{s}}{λ} = \frac{1}{λ ζ (s)} \sum_{n = 1}^{\infty} 1.

$\mathbb{E}\left(\frac{1}{1-X}\right) = \sum_{n=1}^\infty p_n \frac{n^s}{\lambda} = \frac{1}{\lambda\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty 1.$

A soma diverge. Consequentemente, nenhum limite superior é consistente com as condições declaradas.

— whuber
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