Limite superior em em que e


8

X é uma variável aleatória discreta que pode assumir valores de (0,1) . Como φ(x)=1/x é uma função convexa, podemos usar a desigualdade de Jensen para derivar um limite inferior :

E[11X]11E[X]=11a
É possível derivar um limite superior ?

1
Considere o que acontece quando X tem um limite superior que se aproxima de 1 a partir de baixo. Agora considere uma distribuição que inclua 1 com densidade diferente de zero. Agora considere uma distribuição discreta, onde 1 tem probabilidade diferente de zero. Você pode querer começar com algumas restrições
Glen_b -Reinstar Monica

1
Uma generalização dessa pergunta pode ser aplicada à variável aleatória 1X com a expectativa 1a para obter a resposta imediatamente: consulte stats.stackexchange.com/questions/141766 . A desigualdade fornecida lá é pequena: isto é, o limite superior é atingível. Ele fornece um limite superior útil (não-infinito) se o supremo de X for menor que 1 .
whuber

Respostas:


5

Não há limite superior.

Intuitivamente, se tiver suporte substancial ao longo de uma sequência que se aproxima de , então poderá ter uma expectativa divergente (arbitrariamente grande). Para mostrar que não há limite superior, tudo o que precisamos fazer é encontrar uma combinação de suporte e probabilidades que atinja a expectativa desejada de . A seguir constrói explicitamente tal .X11/(1X)aX


Suponha (a ser escolhido posteriormente) e (também a ser escolhido posteriormente). Seja os valores com probabilidades . Então0<λ<1s>1X

an=1λns
pn=nsζ(s),
n=1,2,

a=E(X)=n=1pnan=1ζ(s)n=1ns(1λns)=1λζ(2s)ζ(s).

O intervalo de é o intervalo , pois este gráfico parcial indica:f(s)=ζ(2s)/ζ(s)(0,1)

Figura da relação zeta

Selecionando forma que , escolha para o qual ; isto é, . Isso constrói um com todas as propriedades declaradas.λ1a<λ<1s>1f(s)=(1a)/λa=1λf(s)X

Considerar

E(11X)=n=1pnnsλ=1λζ(s)n=11.

A soma diverge. Consequentemente, nenhum limite superior é consistente com as condições declaradas.

Ao utilizar nosso site, você reconhece que leu e compreendeu nossa Política de Cookies e nossa Política de Privacidade.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.