Gerar pesos uniformemente distribuídos que somam a unidade?

É comum usar pesos em aplicações como modelagem de mistura e combinar linearmente funções básicas. Pesos $w_i$ muitas vezes deve obedecer $w_i ≥$ 0 e $\sum_{i} w_i=1$ . Eu gostaria de escolher aleatoriamente um vetor de peso $\mathbf{w} = (w_1, w_2, …)$ partir de uma distribuição uniforme desses vetores.

Pode ser tentador usar $w_i = \frac{\omega_i}{\sum_{j} \omega_j}$ onde$\omega_i \sim$U (0, 1), no entanto, conforme discutido nos comentários abaixo, a distribuição de$\mathbf{w}$não é uniforme.

Entretanto, dada a restrição $\sum_{i} w_i=1$ , parece que a dimensionalidade subjacente do problema é $n-1$ , e que deve ser possível escolher um $\mathbf{w}$ escolhendo $n-1$ parâmetros de acordo com alguma distribuição e depois computando o correspondente a $\mathbf{w}$esses parâmetros (porque uma vez que $n-1$ dos pesos são especificados, o peso restante é totalmente determinado).

O problema parece ser semelhante ao problema de escolha de pontos de esfera (mas, em vez de escolher 3 vetores cuja norma $ℓ_2$ é unidade, quero escolher $n$ vetores cuja $ℓ_1$ norma seja unidade).

Obrigado!

Escolha uniformemente (por meio de n - 1 reais uniformes no intervalo [ 0 , 1 ] ). Classifique os coeficientes de forma que 0 ≤ x 1 ≤ ⋯ ≤ x n - 1 . Conjunto$\mathbf{x} \in [0,1]^{n-1}$$n-1$$[0,1]$$0 \le x_1 \le \cdots \le x_{n-1}$

Porque nós podemos recuperar o ordenado por meio das somas parciais do w i , o mapeamento x → w é ( n - 1 ) ! para 1; em particular, sua imagem é o n - 1 simplex em R n . Como (a) cada troca de um tipo é uma transformação linear, (b) a fórmula anterior é linear e (c) as transformações lineares preservam a uniformidade das distribuições, a uniformidade de x implica a uniformidade de w no n - 1 simplex.$x_i$$w_i$$\mathbf{x} \to \mathbf{w}$$(n-1)!$$n-1$$\mathbb{R}^n$$\mathbf{x}$$\mathbf{w}$ $n-1$ Em particular, observe que os marginais de não são necessariamente independentes.$\mathbf{w}$

Este gráfico de pontos 3D mostra os resultados de 2000 iterações desse algoritmo para . Os pontos são confinados ao simplex e são distribuídos aproximadamente uniformemente sobre ele.$n=3$

Como o tempo de execução desse algoritmo é , é ineficiente para n grande . Mas isso responde à pergunta! Uma maneira melhor (em geral) de gerar valores uniformemente distribuídos no n - 1- simplex é desenhar n reais reais ( x 1 , … , x n ) no intervalo [ 0 , 1 ] , calcular$O(n \log(n)) \gg O(n)$$n$$n-1$$n$$(x_1, \ldots, x_n)$$[0,1]$

(o que faz com que cada positivo com probabilidade 1 , de onde a sua soma é quase certamente diferente de zero) e conjunto$y_i$$1$

Isto funciona porque cada tem um Γ ( 1 ) de distribuição, o que implica w tem um Dirichlet ( 1 , 1 , 1 ) de distribuição - e que é uniforme.$y_i$$\Gamma(1)$$\mathbf w$$(1,1,1)$

    zz <- c(0, log(-log(runif(n-1))))
    ezz <- exp(zz)
    w <- ezz/sum(ezz)

A primeira entrada é colocada em zero para identificação; você veria isso em modelos logísticos multinomiais. Obviamente, em modelos multinomiais, você também teria covariáveis ​​sob os expoentes, em vez de apenas os zzs aleatórios . A distribuição dos zzs é a distribuição de valor extremo; você precisaria disso para garantir que os pesos resultantes sejam os mesmos que inicialmente coloquei rnormlá, mas depois tive a sensação de que isso não vai funcionar.

A solução é óbvia. O código MathLab a seguir fornece a resposta para três pesos.

function [  ] = TESTGEN( )
SZ  = 1000;
V  = zeros (1, 3);
VS = zeros (SZ, 3);
for NIT=1:SZ   
   V(1) = rand (1,1);     % uniform generation on the range 0..1
   V(2) = rand (1,1) * (1 - V(1));
   V(3) = 1 - V(1) - V(2);  
   PERM = randperm (3);    % random permutation of values 1,2,3
   for NID=1:3
         VS (NIT, NID) = V (PERM(NID));
    end
end 
figure;
scatter3 (VS(:, 1), VS(:,2), VS (:,3));
end