A convergência quase certa não implica convergência completa

Dizemos que convergem completamente para se para cada . $X_1, X_2, \ldots$ $X$ $\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

Com o lema de Borel Cantelli, é fácil provar que a convergência completa implica convergência quase certa.

Estou procurando um exemplo, quase certo de que a convergência não pode ser comprovada com Borel Cantelli. Isto é, uma sequência de variáveis aleatórias que converge quase certamente, mas não completamente.

probability convergence

— Manuel
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Let com a sigma-álgebra de Borel e medida uniforme . Definir $\Omega=(0,1)$ $\mathfrak{F}$ $\mu$

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

e caso contrário. Os são obviamente mensuráveis no espaço de probabilidade . $X_n(\omega)=0$ $X_n$ $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

Figura

Para qualquer e todos os , é o caso de . Assim, por definição, a sequência converge para (não apenas com quase certeza!). $\omega\in\Omega$ $N \gt 1/\omega$ $X_n(\omega)=0$ $(X_n)$ $0$

No entanto, sempre que , , de onde $0 \lt \epsilon \lt 1$ $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

\sum_{n = 1}^{\infty} Pr (X_{n} > ϵ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n},

$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$

que diverge para . $\infty$

— whuber
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Muito obrigado!. Dois comentários, existe um motivo para definir vez de ? segundo, deveria ser ?

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

X_{n} (ω) = 1 when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 1 \text{ when } \omega \le 1/n$

\sum Pr (X_{n} > ϵ)

$\sum\text{Pr}\left(X_n > \epsilon\right)$

— Manuel

1. Não há uma boa razão. Enquanto pensava nisso, usei o termo como um lembrete de que talvez não houvesse convergência nesses momentos. 2. Eu fixo os erro de digitação, obrigado.

\pm 1

$\pm 1$

<

$\lt$

— whuber

O independente? Eles parecem ser para mim, o que pelo segundo lema de Borel Cantelli implicaria que a convergência não é quase certa.

X_{n}

$X_n$

— Rdrr 10/05/19

@Rdrr Então você não deve ter problemas para demonstrar que o não é independente.

X_{n}

$X_n$

— whuber