Como funciona a fórmula para gerar variáveis ​​aleatórias correlacionadas?

Se tivermos 2 variáveis ​​aleatórias normais e não correlacionadas , podemos criar 2 variáveis ​​aleatórias correlacionadas com a fórmula$X_1, X_2$

$Y=\rho X_1+ \sqrt{1-\rho^2} X_2$

e então terá uma correlação ρ com X 1 .$Y$$\rho$$X_1$

Alguém pode explicar de onde vem essa fórmula?

Suponha que você queira encontrar uma combinação linear de e X 2 de modo que$X_1$$X_2$

$$\text{corr}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1) = \rho$$

Observe que, se você multiplicar e β pela mesma constante (diferente de zero), a correlação não será alterada. Assim, vamos adicionar uma condição para preservar a variação: var ( α X 1 + β X 2 ) = var ( X 1$\alpha$$\beta$$\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \text{var}(X_1)$

Isso é equivalente a

$$\rho = \frac{\text{cov}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1)}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \frac{\alpha \overbrace{\text{cov}(X_1, X_1)}^{=\text{var}(X_1)} + \overbrace{\beta \text{cov}(X_2, X_1)}^{=0}}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \alpha \sqrt{\frac{\text{var}(X_1)}{\alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2)}}$$

Assumindo que ambas as variáveis ​​aleatórias tenham a mesma variância (essa é uma suposição crucial!) ( ), obtemos$\text{var}(X_1) = \text{var}(X_2)$

$$\rho \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \alpha$$

Existem muitas soluções para essa equação, então é hora de recuperar a condição de preservação de variação:

$$\text{var}(X_1) = \text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2) \Rightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 1$$

E isso nos leva a

$$\alpha = \rho \\ \beta = \pm \sqrt{1-\rho^2}$$

UPD . Em relação à segunda pergunta: sim, isso é conhecido como clareamento .

A equação é uma forma bivariada simplificada de decomposição de Cholesky . Essa equação simplificada às vezes é chamada de algoritmo de Kaiser-Dickman (Kaiser e Dickman, 1962).

Observe que e X 2 devem ter a mesma variação para que esse algoritmo funcione corretamente. Além disso, o algoritmo é normalmente usado com variáveis ​​normais. Se X 1 ou X 2 não são normais, Y pode não ter a mesma forma distributiva como X 2 .$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$Y$$X_2$

Referências:

Kaiser, HF e Dickman, K. (1962). Matrizes de pontuação de amostra e população e matrizes de correlação de amostra de uma matriz de correlação populacional arbitrária. Psychometrika, 27 (2), 179-182.

Correlation coefficient is the $\cos$ between two series if they are treated as vectors (with $n^{th}$ data point being $n^{th}$ dimension of a vector). The above formula simply creates a decomposition of a vector into its $\cos\theta$, $sin\theta$ components (with respect to $X_1,X_2$).
if $\rho = cos \theta$ , then $\sqrt{1-{\rho}^2}=\pm sin \theta$.

Because if $X_1, X_2$ are uncorrelated, the angle between them is a right angle (ie, they can be considered as orthogonal, albeit non-normalized, basis vectors ).