Qual é o mínimo de


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Todas as distribuições em um intervalo limitado [0,1] satisfazem:

σ2μ(1μ)

onde μ é a média e σ2 a variância.

Agora, suponha que a distribuição seja unimodal, no sentido de ter no máximo um máximo local. Qual é o valor mínimo que a seguinte proporção pode ter:

μ(1μ)σ2?

... sua primeira equação implica que a razão não pode ser menor que 1. Você está perguntando qual distribuição a torna igual a 1?
user603

Dê uma olhada em um Bernoulli com μ = p . É bastante típico que soluções desse tipo de problema externo sejam discretas e em apenas alguns pontos. Você parece ter feito várias postagens semelhantes a "estantes de livros". Existe algum trabalho para esse assunto? (p)μ=p
Glen_b -Reinstala Monica

@Glen_b A questão pede uma distribuição unimodal, porém, que não é uma versão borrada para ser contínua de um Bernoulli.
Dougal

A distribuição uniforme em fornece um valor de 3. As distribuições beta fornecem α + β + 1 e são unimodais apenas se α > 1 , β > 1[0,1]α+β+1α>1β>1 , então também 3 (quando também é uniforme). Tentei várias outras famílias de distribuição nomeadas ( daqui ) e nunca obtive um valor melhor que 3. Também comecei a escrevê-lo como um problema de otimização fazendo interpolação linear entre pontos, mas parecia um problema de otimização rígido, e parei antes de realmente codificando e tentando.
Dougal

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Perguntado simultaneamente em math.SE, onde já recebeu duas respostas (uma das quais foi excluída pelo autor da resposta devido à grosseria percebida pelo OP).
precisa saber é o seguinte

Respostas:


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Não existe um mínimo. No entanto, um infimum faz. Resulta do fato de que

O supremum da variância de distribuição unimodal definidos em Tendo significativo μ é μ ( 2 - 3 μ ) / 3 ( 0 μ 1 / 2 ) ou ( 1 - μ ) ( 3 μ - 1 ) / 3 ( 1 / 2 u 1 ).[0,1]μμ(23μ)/30μ1/2(1μ)(3μ1)/31/2μ1

O supremo é realmente alcançado por uma distribuição que - embora não tenha uma função de densidade - ainda pode (em um sentido generalizado) ser considerada "unimodal"; que terão um átomo em (quando μ < 1 / 2 ) ou um átomo em 1 (quando μ > 1 / 2 ), mas de outra forma ser uniforme.0μ<1/21μ>1/2


Vou esboçar o argumento. A pergunta nos pede para otimizar uma função funcional linear

Lx2:D[0,1]R

sujeito a várias restrições de igualdade e desigualdade, onde é o conjunto de medidas (assinadas) no intervalo [ 0 , 1 ] . Para F diferenciáveis : [ 0 , 1 ] R e g : [ 0 ,D[0,1][0,1]F:[0,1]R qualquer função contínua, definirg:[0,1]R

Lg[F]=01g(x)dF(x),

e estenda a todosL por continuidade.D[0,1]

As restrições de igualdade são

L1[F]=1

e

Lx[F]=μ.

As restrições de desigualdade são que

f(x)0

e existe (um "modo") tal que para todos os 0 x y λ e todos os λ y x 1 ,λ[0,1]0xyλλyx1

f(x)f(y).

XD[0,1]Lx2

LgXF

f0<λ<1[0,λ)a(λ,1]b

a=1+λ2μλ, b=2μλ1λ.

Figura 1: Gráfico de um $ f _ {(\ lambda, \ mu)} $ típico.

μλf(λ,μ)μ>1/2

Lx2f(λ,μ)F(λ,μ)

Lx2[f(λ,μ)]=13(2μ+(2μ1)λ).

λ0μ<1/21μ>1/2μ=1/2μ=1/2f(λ,μ)F=limλ0F(λ,μ)F=limλ1F(λ,μ)01

Figura 2: Gráfico de $ F $ ideal para $ \ mu = 2/5 $.

Fμ2/5

Independentemente, o valor ideal é

σμ2=supλLx2[f(λ,μ)]=13μ(23μ).

μ(1μ)/σ20μ<1/2

μ(1μ)/σμ2=33μ23μ,

1/2<μ1μ1μ ).

Figura 3: Gráfico do infimum versus $ \ mu $.

μ(1μ)/σμ2μ


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Eu acho que essa é uma resposta bonita. É baseado em um livro ou papel? Existe uma referência com mais resultados como este?
Becko

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@becko Obrigado. Eu gostaria de poder ajudar, mas esta é uma solução original. Não tenho certeza de onde começaríamos a procurar outros resultados desse tipo, porque não sou especialista em desigualdades distributivas.
whuber
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