Qual é o mínimo de

Todas as distribuições em um intervalo limitado $[0,1]$ satisfazem:

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2 \le \mu (1-\mu)$

onde $\mu$ é a média e $\sigma^2$ a variância.

Agora, suponha que a distribuição seja unimodal, no sentido de ter no máximo um máximo local. Qual é o valor mínimo que a seguinte proporção pode ter:

\frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} ?

$\frac{\mu (1-\mu)}{\sigma^2}?$

variance

— becko
fonte

... sua primeira equação implica que a razão não pode ser menor que 1. Você está perguntando qual distribuição a torna igual a 1?

— user603

Dê uma olhada em um Bernoulli

com

. É bastante típico que soluções desse tipo de problema externo sejam discretas e em apenas alguns pontos. Você parece ter feito várias postagens semelhantes a "estantes de livros". Existe algum trabalho para esse assunto?

(p)

$(p)$

μ = p

$\mu=p$

— Glen_b -Reinstala Monica

@Glen_b A questão pede uma distribuição unimodal, porém, que não é uma versão borrada para ser contínua de um Bernoulli.

— Dougal

A distribuição uniforme em

fornece um valor de 3. As distribuições beta fornecem

e são unimodais apenas se

[0, 1]

$[0, 1]$

α + β + 1

$\alpha + \beta + 1$

α > 1

$\alpha > 1$

β > 1

$\beta > 1$ , então também 3 (quando também é uniforme). Tentei várias outras famílias de distribuição nomeadas ( daqui ) e nunca obtive um valor melhor que 3. Também comecei a escrevê-lo como um problema de otimização fazendo interpolação linear entre pontos, mas parecia um problema de otimização rígido, e parei antes de realmente codificando e tentando.

— Dougal

Perguntado simultaneamente em math.SE, onde já recebeu duas respostas (uma das quais foi excluída pelo autor da resposta devido à grosseria percebida pelo OP).

— precisa saber é o seguinte

Não existe um mínimo. No entanto, um infimum faz. Resulta do fato de que

O supremum da variância de distribuição unimodal definidos em Tendo significativo é ( ) ou ( ). $[0,1]$ $\mu$ $\mu(2 - 3\mu)/3$ $0 \le \mu \le 1/2$ $(1-\mu)(3\mu-1)/3$ $1/2\le \mu \le 1$

O supremo é realmente alcançado por uma distribuição que - embora não tenha uma função de densidade - ainda pode (em um sentido generalizado) ser considerada "unimodal"; que terão um átomo em (quando ) ou um átomo em (quando ), mas de outra forma ser uniforme. $0$ $\mu \lt 1/2$ $1$ $\mu \gt 1/2$

Vou esboçar o argumento. A pergunta nos pede para otimizar uma função funcional linear

L_{x^{2}} : D [0, 1] \to R

$\mathcal{L_{x^2}}: D[0,1] \to \mathbb{R}$

sujeito a várias restrições de igualdade e desigualdade, onde é o conjunto de medidas (assinadas) no intervalo . Para diferenciáveis e $D[0,1]$ $[0,1]$ $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ qualquer função contínua, definir $g:[0,1]\to\mathbb{R}$

L_{g} [F] = \int_{0}^{1} g (x) d F (x),

$\mathcal{L}_g[F] = \int_0^1 g(x) dF(x),$

e estenda a todos $\mathcal{L}$ por continuidade. $D[0,1]$

As restrições de igualdade são

L_{1} [F] = 1

$\mathcal{L}_1[F] = 1$

L_{x} [F] = μ .

$\mathcal{L}_x[F] = \mu.$

As restrições de desigualdade são que

f (x) \geq 0

$f(x) \ge 0$

e existe (um "modo") tal que para todos os e todos os , $\lambda \in [0,1]$ $0\le x \le y \le \lambda$ $\lambda \le y \le x \le 1$

f (x) \leq f (y) .

$f(x) \le f(y).$

$\mathcal{X}\subset D[0,1]$ $\mathcal{L}_{x^2}$

$\mathcal{L}_g$ $\mathcal{X}$ $F$

$f$ $0\lt \lambda \lt 1$ $[0,\lambda)$ $a$ $(\lambda, 1]$ $b$

a = \frac{1 + λ - 2 μ}{λ}, b = \frac{2 μ - λ}{1 - λ} .

$a = \frac{1+\lambda-2\mu}{\lambda},\ b = \frac{2\mu-\lambda}{1-\lambda}.$

$Figura 1: Gráfico de um $ f _ {(\ lambda, \ mu)} $ típico.$

$\mu$ $\lambda$ $f_{(\lambda,\mu)}$ $\mu \gt 1/2$

$\mathcal{L}_{x^2}$ $f_{(\lambda, \mu)}$ $F_{(\lambda, \mu)}$

L_{x^{2}} [f_{(λ, μ)}] = \frac{1}{3} (2 μ + (2 μ - 1) λ) .

$\mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\left(2\mu + (2\mu - 1)\lambda\right).$

$\lambda$ $0$ $\mu \lt 1/2$ $1$ $\mu \gt 1/2$ $\mu = 1/2$ $\mu=1/2$ $f_{(\lambda, \mu)}$ $F = \lim_{\lambda\to 0} F_{(\lambda, \mu)}$ $F = \lim_{\lambda\to 1} F_{(\lambda, \mu)}$ $0$ $1$

$Figura 2: Gráfico de $ F $ ideal para $ \ mu = 2/5 $.$

$F$ $\mu \approx 2/5$

Independentemente, o valor ideal é

σ_{μ}^{2} = sup_{λ} L_{x^{2}} [f_{(λ, μ)}] = \frac{1}{3} μ (2 - 3 μ) .

$\sigma^2_\mu = \sup_\lambda \mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\mu(2 - 3\mu).$

$\mu(1-\mu)/\sigma^2$ $0\le \mu \lt 1/2$

μ (1 - μ) / σ_{μ}^{2} = \frac{3 - 3 μ}{2 - 3 μ},

$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu = \frac{3-3\mu}{2-3\mu},$

$1/2\lt \mu \le 1$ $\mu$ $1-\mu$ ).

$Figura 3: Gráfico do infimum versus $ \ mu $.$

$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu$ $\mu$

— whuber
fonte

Eu acho que essa é uma resposta bonita. É baseado em um livro ou papel? Existe uma referência com mais resultados como este?

— Becko

@becko Obrigado. Eu gostaria de poder ajudar, mas esta é uma solução original. Não tenho certeza de onde começaríamos a procurar outros resultados desse tipo, porque não sou especialista em desigualdades distributivas.

— whuber