quando

Eu sei que para a variável contínua $P[X=x]=0$ .

Mas não consigo visualizar que, se $P[X=x]=0$ , existe um número infinito de possíveis $x$ 's. E também por que suas probabilidades ficam infinitamente pequenas?

— Tempo
fonte

possível duplicata da probabilidade condicional de variável contínua

— Xian

Já existem dois votos para encerrar esta pergunta como duplicada. Eu não concordo Este é um tópico bastante básico, um dos que provavelmente reaparecerá no futuro; portanto, seria bom se tivesse uma resposta direta e de alta qualidade, para que possamos nos referir a ele no futuro. O link fornecido pelo @ Xi'an pode estar ameaçado como duplicado, mas também é bastante específico e difícil de encontrar através da pesquisa. O link também não fornece uma resposta exaustiva, enquanto essa ameaça parece convergir para tal. Eu acho que deve ser deixado em aberto como uma referência futura.

— Tim

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$

1

$1$

— whuber

@ Tim Obrigado, mas eu postei esse pensamento como um comentário, e não uma resposta, porque é incompleto: eu não descobri uma maneira elementar de explicar o que acontece no limite como . Parece exigir algum conhecimento de cardinalidades de conjuntos infinitos.

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$

— whuber

@ Xi'an Eu concordo, mas o tópico que você propôs não é uma duplicata suficientemente próxima. Isso é uma coisa difícil de procurar. Talvez você esteja ciente de outros tópicos que duplicam esta pergunta?

— whuber

Respostas:

Probabilidades são modelos para as frequências relativas de observações. Se for observado que um evento ocorreu vezes em tentativas, sua frequência relativa é e geralmente se acredita que o valor numérico da A razão acima é uma aproximação aproximada de quando é "grande", onde o que se entende por "grande" é melhor deixado para a imaginação (e credulidade) do leitor. $A$ $N_A$ $N$

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

Agora, foi observado que, se nosso modelo de é o de uma variável aleatória contínua, as amostras de são números distintos. Portanto, a frequência relativa de um número específico (ou, mais pedanticamente, o evento ) é se um dos tiver valor , ou se todos os forem diferentes de . Se um leitor mais cético coletar amostras adicionais , a frequência relativa do evento será $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ $\frac 1N$ $x_i$ $x$ $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ $\frac{1}{2N}$ ou continua a aproveitar o valor . Assim, é tentado adivinhar que deve receber o valor pois essa é uma boa aproximação à frequência relativa observada. $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

Nota: a explicação acima é (geralmente) satisfatória para engenheiros e outros interessados na aplicação de probabilidade e estatística (ou seja, aqueles que acreditam que os axiomas de probabilidade foram escolhidos de modo a tornar a teoria um bom modelo de realidade), mas totalmente insatisfatória para muitos outros. Também é possível abordar sua pergunta de uma perspectiva puramente matemática ou estatística e provar que deve ter valor sempre que é uma variável aleatória contínua por meio de deduções lógicas dos axiomas da probabilidade e sem qualquer referência à frequência relativa ou observações físicas etc. $P\{X = x\}$ $0$ $X$

— Dilip Sarwate
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+1 "Nota: a explicação acima é ... satisfatória para ... aqueles que acreditam que os axiomas da probabilidade foram escolhidos de modo a tornar a teoria um bom modelo de realidade), mas totalmente insatisfatória ...", no fraseado preferido da internet, lol.

— gung - Restabelece Monica

Eu não entendo o que você quer dizer com isso tem sido observado que, se é contínua, então ... $X$ . Como podemos observar isso?

— Stéphane Laurent

@ StéphaneLaurent Essa frase é um pouco complicada, portanto vale a pena reler. Despojado de algumas observações entre parênteses, ele diz "foi observado que ... as amostras ... são números distintos". Em outras palavras, quando se assume que tem uma distribuição contínua , em seguida, (quase certamente) haverá nenhuma duplicata em qualquer amostra iid finito de . Isso pode ser matematicamente comprovado: não é uma mera observação.

N

$N$ $X$

X

$X$

— whuber

@ StéphaneLaurent Acho que as observações de Dilip estão sendo feitas com um espírito diferente do que isso. Essa resposta não é um esforço para fornecer uma demonstração matematicamente rigorosa, mas para fornecer alguma intuição e motivação para um fato que intriga o OP. Estou intrigado com essa abordagem, porque ela tem um grande potencial para preencher a lacuna entre a teoria das probabilidades discretas tradicionalmente ensinada aos iniciantes e a teoria geral das probabilidades mais rica, baseada na teoria das medidas.

— whuber

@whuber Eu entendo o espírito, mas, à primeira vista, não estava convencido de que a propriedade sem laços é mais intuitiva do que a propriedade com probabilidade zero. Para é realmente a mesma coisa: " " .

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

— Stéphane Laurent

Seja o espaço de probabilidade subjacente. Dizemos que uma função mensurável é uma variável aleatória absolutamente contínua se a probabilidade medir over definida por , conhecida como distribuição de , é dominada pela medida de Lebesgue , no sentido de que para todo conjunto Borel , se , então . Nesse caso, o teorema de Radon-Nikodym nos diz que existe um mensurável $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , definido em quase todos os lugares equivalentes, de modo que . Seja um subconjunto contável de . Como é consideravelmente aditivo, . Mas para cada . Devido à propriedade arquimediana dos números reais, desde , a desigualdade é válida para cada se e somente se $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$ , implicando que . Da continuidade absoluta assumida de , segue-se que .

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

— zen
fonte

Variável aleatória contínua não precisa ser absolutamente contínua (que poderia ter nenhuma densidade.)

— Zhanxiong

Baloney. "Variável aleatória contínua" é um nome informal para "uma variável aleatória absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue". Portanto, o Radon-Nikodym garante que existe uma densidade. Uma variável aleatória com uma distribuição singular (por exemplo, Cantor) é uma coisa diferente. Você está enganando alunos em potencial com seu comentário falso.

— Zen

Quando você criticou alguém, por favor, mostre a citação a que você se referiu. Qual livro de probabilidade disse que "Variável aleatória contínua" é um nome informal para "uma variável aleatória absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue" ? Além disso, esse problema pode ser resolvido sem a necessidade de ter uma densidade, veja minha prova abaixo.

X

$X$

— Zhanxiong 24/07/2015

A Wikipedia discorda de você, @Solitary: " Uma distribuição de probabilidade contínua é uma distribuição de probabilidade que tem uma função de densidade de probabilidade. Os matemáticos também chamam essa distribuição de absolutamente contínua [...]".

— ameba diz Restabelecer Monica

$X$ é uma variável aleatória contínua significa que sua função de distribuição é contínua . Essa é a única condição que temos, mas da qual podemos derivar que . $F$ $P(X = x) = 0$

De fato, pela continuidade de , temos para cada , portanto: $F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— Zhanxiong
fonte

Se a distribuição de um rv for Cantor, então sua função de distribuição é contínua, mas é uma variável aleatória singular; não é uma variável aleatória contínua.

X

$X$

X

$X$

— Zen

Meu amigo, isso na verdade pode ser um contra-exemplo para a sua própria resposta, não a minha. Desde a existência de tal rv contínuo Singular , é necessário distinguir rv contínuo absoluto e rv contínuo singular , embora suas funções de distribuição sejam todas contínuas. Igualar rv contínuo e absoluto rv contínuo é ambíguo.

— Zhanxiong 24/07/2015

Não é, mas você não vai ouvir, meu amigo.

— Zen

A propósito, você está realmente "provando" que, se para cada , então para cada .

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

— Zen