Qual é a demonstração da variância da diferença de duas variáveis ​​dependentes?

Eu sei que a variação da diferença de duas variáveis ​​independentes é a soma das variações, e eu posso provar isso. Eu quero saber onde a covariância vai no outro caso.

Quando e Y são variáveis ​​dependentes com covariância C o v [ X , Y ] = E [ ( X - E [ X ] ) ( Y - E [ Y ] ) ] , então a variação de sua diferença é dada por V a r [ X - Y ] = V a r [ X ] + V a r$X$$Y$$\mathrm{Cov}[X,Y] = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])]$ Isso é mencionado entre as propriedades básicas da variação emhttp://en.wikipedia.org/wiki/Variance. Se X e Y não estiverem correlacionados (o que é fortiori o caso quando são independentes), então sua covariância é zero e temos V a r [ X - Y ] = V a r [ X ] + V a r [ Y

$$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y] - 2 \mathrm{Cov}[X,Y]$$ $X$$Y$ $$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y]$$

$X$$Y$$Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$

$Z:=-Y$$Var[X-Y]=Var[X+Z]=Var[X]+Var[Z]+2\times Cov[X,Z]$

$Var[Z] = Var[-Y] = Var[Y]$$Var[\alpha Y] = \alpha^2 Var[Y]\enspace \forall \alpha \in \mathbb{R}.$

$Cov[X,Z] = Cov[X,-Y] = -Cov[X,Y]$$Cov(X,\beta Y) = \beta Cov(X,Y)\enspace \forall \beta \in \mathbb{R}$

$Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$