Como posso calcular

Como se pode avaliar a expectativa do CDF quadrado normal em forma fechada?

E [Φ {(uma Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(uma z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

Aqui, , são números reais, e e são as funções de densidade e distribuição de uma variável aleatória normal normal, respectivamente. $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— Andrei
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Bem, onde você fica preso? Você já tentou avaliar? Talvez use o fato de que

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— digitou

Tentei avaliar a integral, usando a integração por partes e outras técnicas (simples), mas isso não me levou a lugar algum. Além disso, comecei a partir da variação para chegar até aqui. Encontrei uma pergunta semelhante ( stats.stackexchange.com/questions/61080/… ), mas estender para o CDF ao quadrado não parece ser trivial.

— Andrei

Você já pensou em usar coordenadas polares?

— StatsStudent

Não, eu não tenho, você pode detalhar um pouco?

— Andrei

, então

é distribuído uniformemente entre 0 e 1. Seu segundo momento é

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

. Lembro-me de tentar calcular algo como o que você pede geral

, mas eu não encontrou soluções de forma fechada.

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst 23/03

Como observado no meu comentário acima, consulte a Wikipedia para obter uma lista de integrais de funções gaussianas. Usando sua notação, ela fornece ondeé a função T de Owen definida por

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0 0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

Se você conectar , receberá $a=1,b=0$ como os comentários indicam que você deveria. $1 \over 3$

— Soakley
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Muito obrigado, é exatamente isso que eu estava procurando.

— Andrei