Prove ou forneça um contra-exemplo:

Se , $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$

Minha tentativa :

FALSE: Suponha que possa assumir apenas valores negativos e suponha $X$ $X_n \equiv X$ $\forall$ $n$

ENTÃO , no entanto, mesmo para , não é estritamente negativo. Em vez disso, alterna negativo para positivo e negativo. Portanto, não converge quase certamente para . $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $n$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $X$

Esta é uma resposta razoável? Caso contrário, como posso melhorar minha resposta?

self-study convergence geometric-mean

— Lewkrr
fonte

X_{i}

$X_i$ deve ser estritamente positivo para que isso seja significativo.

— precisa saber é o seguinte

Obviamente, você precisa de para definir corretamente. Primeiro prove que converge para como (google "Cesaro mean" em Real Analysis e adapte o argumento). Em seguida, considere .

X_{i} > 0

$X_i>0$

G_{n} = (\prod_{i = 1}^{n} X_{i})^{1 / n}

$G_n=(\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}$

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n} / n

$A_n=\sum_{i=1}^n X_n/n$

X

$X$

L_{n} = \log G_{n}

$L_n=\log G_n$

— Zen

O resultado da análise real necessário é esta: Se , então . Prova: para qualquer , existe um tal que , para cada . Portanto, . Portanto, se selecionarmos , , para cada .

x_{n} \to L

$x_n\to L$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n \to L

$\sum_{i=1}^n x_i/n\to L$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

n_{0} \geq 1

$n_0\geq 1$

| x_{n} - L | < ϵ / 2

$|x_n-L|<\epsilon/2$

n \geq n_{0}

$n\geq n_0$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | \leq \sum_{i = 1}^{n_{0}} | x_{i} - L | / n + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n} | x_{i} - L | / n < n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / n + ϵ / 2

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|\leq \sum_{i=1}^{n_0}|x_i-L|/n+\sum_{i=n_0+1}^{n}|x_i-L|/n<n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/n + \epsilon/2$

n_{1} > 2 n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / ϵ

$n_1>2\,n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/\epsilon$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | < ϵ

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|<\epsilon$

n \geq n_{1}

$n\geq n_1$

— Zen

A intuição é que você está computando a média com mais e mais mais e mais próximos de , e eles acabam dominando o resultado.

x_{i}

$x_i$

L

$L$

— Zen

Respostas:

Antes de provar algo de interesse, observe que quase certamente para todos não é uma condição necessária para que ambas as declarações façam sentido, o que a sequência determinística ilustra. $X_i >0$ $i$ $(-1, -1, 1, 1, 1, \dots)$

Além disso, a afirmação é de fato falsa em geral, como a seguinte sequência determinística prova: . $(0, 1, 1, \dots)$

Agora, suponha que quase certamente para todos os , então a afirmação é verdadeira pelo seguinte argumento: $X_i >0$ $i$

DefinaPela continuidade de , quase certamente. Assim, quase certamente por um resultado para Cesaro significa também comprovado nos comentários acima. Assim, pela continuidade de , quase com certeza.

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) .

$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(X_i).$

x \mapsto \log (x)

$x\mapsto \log(x)$

\log (X_{n}) \to \log (X)

$\log(X_n)\to\log(X)$

S_{n} \to \log (X)

$S_n \to\log(X)$

x \mapsto \exp (x)

$x\mapsto \exp(x)$

{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n} \to X,

$\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{1/n}\to X,$

— ekvall
fonte

Esta afirmação é falsa. Eu provo fornecendo um contra-exemplo.

Suponha que a sequência aleatória seja definida da seguinte forma: $X_i$

\begin{aligned} Z_{i} & \sim N (0, 1 / i), i i d, \forall i \in N \\ X_{i} & = 1_{{i \neq 1}} + 1_{{i \neq 1}} Z_{i}, i \in N \end{aligned}

$\begin{align} Z_i &\sim N(0,1/i), iid, \; \forall i \in \mathbb{N} \\ X_i &= 1_{\{i \neq 1\}} + 1_{\{i \neq 1\}}Z_i, \; i \in \mathbb{N} \end{align}$

Claramente, é (1) degenerado e (2) converge quase certamente para como pela forte lei de grandes números de Chebyshev. (Para ver isso, reescreva para .) $X_i$ $X=1$ $i \longrightarrow \infty$ $Z_i = i^{-0.5}Z$ $Z \sim N(0,1)$

No entanto, como , . Consequentemente, , portanto, no limite, converge trivialmente para , ou seja, . $X_1 = 0$ $\Pi_{i=1}^nX_i = 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ $(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$ $0$ $lim_{n\longrightarrow \infty}(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0$ $\square$

— Jeremias K
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Parece que você esqueceu o expoente .

1 / n

$1/n$

— whuber

Obrigado whuber, eu consertei :) Eu realmente deveria ler as coisas com mais cuidado ... Eu também provei que a declaração também não se aplica a porque eu não leu corretamente.

Π_{i = 1}^{n} X_{i}^{1 / i}

$\Pi_{i=1}^nX_i^{1/i}$

— Jeremias K

Obrigado. Todos esses cálculos parecem obscurecer uma idéia simples: se for diferente de zero, você não alterará o limite alterando qualquer número finito do para zero, mas isso tornará o produto zero e você terá uma contradição. Justo. No entanto, a menos que nos digam o contrário, declarações sobre produtos infinitos devem ser entendidas como declarações sobre somas infinitas dos logaritmos. Em particular, o interesse nesta questão se concentra no caso em que todo é quase certamente estritamente positivo .

X

$X$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

— whuber

@whuber esse último comentário é interessante. É verdade que os limites dos produtos são por convenção, ou talvez por definição (?), Entendidos em termos dos logaritmos? Nesse caso, também alteraria a redação da minha resposta acima. Em particular, o último apelo à continuidade seria supérfluo.

— Ekvall

@ Estudante O raciocínio da sua resposta está bom. Em aplicações estatísticas, é raro que alguém esteja olhando para esse limite de médias geométricas, a menos que já esteja pensando nos termos dos logaritmos.

— whuber