Gerando variáveis aleatórias binomiais com determinada correlação

Suponha que eu saiba gerar variáveis aleatórias binomiais independentes. Como posso gerar duas variáveis aleatórias e modo que $X$ $Y$
$X \sim Bin (8, \frac{2}{3}), Y \sim Bin (18, \frac{2}{3}) and Corr (X, Y) = 0.5$ $X\sim \text{Bin}(8,\dfrac{2}{3}),\quad Y\sim \text{Bin}(18,\dfrac{2}{3})\ \text{ and }\ \text{Corr}(X,Y)=0.5$

Pensei em tentar usar o fato de que $X$ e $Y-\rho X$ são independentes em que $\rho=Corr(X,Y)$ mas não acho que $X-\rho Y$ seja distribuído binomialmente, portanto não posso usar esse método. Se isso funcionasse, eu teria gerado duas variáveis aleatórias binomiais, digamos $A$ e $B$ , então defina $X=A$ e $Y-\rho X=B$ ou seja, $Y=B+\rho A$ e, portanto, eu teria o par $(X,Y)$ . Mas não posso fazer isso, pois $Y-\rho X$ não é binomialmente distribuído.

Qualquer dica será apreciada sobre como proceder.

— Landon Carter
fonte

Na verdade, esse problema surgiu em um exame do semestre, então não é lição de casa, mas você pode chamá-lo de auto-estudo, eu acho. Adicionada a tag.

— Landon Carter

Você não pode usar a representação linear da correlação em distribuições de suporte discretas.

No caso especial da distribuição binomial, a representação pode ser explorado, pois Se escolhermos que alguns dos sejam iguais a alguns dos 's e gerados independentemente, obteremos que a notação indica que é escolhido idêntico a vez de gerado como um Bernoulli

X = \sum_{i = 1}^{8} δ_{i} Y = \sum_{i = 1}^{18} γ_{i} δ_{i}, γ_{i} \sim B (1, 2 / 3)

$X=\sum_{i=1}^8 \delta_i\quad Y=\sum_{i=1}^{18} \gamma_i\quad \delta_i,\gamma_i\sim \text{B}(1,2/3)$

cov (X, Y) = \sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} cov (δ_{i}, γ_{j})

$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\text{cov}(\delta_i,\gamma_j)$

δ_{i}

$\delta_i$

γ_{j}

$\gamma_j$

cov (X, Y) = \sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} I (δ_{i} := γ_{j}) var (γ_{j})

$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)\text{var}(\gamma_j)$

I (δ_{i} := γ_{j})

$\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$

δ_{i}

$\delta_i$

γ_{j}

$\gamma_j$

B (1, 2 / 3)

$\text{B}(1,2/3)$ .

Como a restrição é , temos que resolver Isso significa que se escolhermos 6 dos 8 igual a 6 dos 18 , devemos obter essa correlação de 0,5.

cov (X, Y) = 0.5 \times \sqrt{8 \times 18} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}

$\text{cov}(X,Y)=0.5\times\sqrt{8\times 18}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}$

\sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} I (δ_{i} := γ_{j}) = 0.5 \times \sqrt{8 \times 18} = 6

$\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)=0.5\times\sqrt{8\times 18}=6$

δ_{i}

$\delta_i$

γ_{j}

$\gamma_j$

A implementação é a seguinte:

Gere , , ; $Z\sim\text{B}(6,2/3)$ $Y_1\sim\text{B}(12,2/3)$ $X_1\sim\text{B}(2,2/3)$
Toma e $X=Z+Z_1$ $Y=Z+Y_1$

Podemos verificar este resultado com uma simulação R

> z=rbinom(10^8,6,.66)
> y=z+rbinom(10^8,12,.66)
> x=z+rbinom(10^8,2,.66)
cor(x,y)
> cor(x,y)
[1] 0.5000539

Comente

Esta é uma solução bastante artificial para o problema, pois funciona apenas porque é um quadrado perfeito e porque é um número inteiro. Para outras correlações aceitáveis, a randomização seria necessária, ou seja, seria zero ou um com alguma probabilidade . $8\times 18$ $\text{cor}(X,Y)\times\sqrt{8\times 18}$ $\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$ $\varrho$

Termo aditivo

O problema foi proposto e resolvido anos atrás no Stack Overflow com a mesma idéia de compartilhar Bernoullis.

— Xi'an
fonte

+1. Você não precisa que seja um quadrado. As condições para Cor ter uma solução (através deste método) para Binômio e Binomial são (1) e ( 2) é um número inteiro. Para certos negativo , usando uma distribuição Multinomial dá uma solução. Uma abordagem mais geral - mas mais difícil - usaria cópulas.

8 \times 18

$8\times 18$

(X, Y) = ρ

$(X,Y)=\rho$

X \sim

$X\sim$

(n, p)

$(n,p)$

Y \sim

$Y\sim$

(m, q)

$(m,q)$

p = q

$p=q$

0 \leq ρ \sqrt{m n} \leq min (m, n)

$0\le \rho\sqrt{mn}\le \min(m,n)$

ρ

$\rho$

— whuber

@ whuber: pela correlação negativa, primeiro pensei em usar mas obviamente não funciona. Você poderia expandir a solução genérica? (Eu também pensei de cópulas, mas calibrar cópulas para chegar a correlação direito é um negócio desagradável, não é ?!

1 - γ_{j}

$1-\gamma_j$

— Xi'an

Xian, eu gostaria de perguntar se o método que você usou é padrão. Isso porque pesquisei bastante na internet e não consegui encontrar nada.

— Landon Carter

Eu concordo com você - não quero trabalhar com essas cópulas! Mas pelo menos, mostrar que as soluções deve existir (dentro de certos limites sobre , dependentes de outros parâmetros) na configuração mais geral. Seria interessante descobrir se construções mais simples, como a que você descreve aqui, poderiam ser usadas para lidar com casos em que ou . Yedaynara: o método de dividir duas variáveis em é padrão para qualquer família paramétrica fechada por adição; e é tudo o que está acontecendo aqui.

ρ

$\rho$

p \neq q

$p\ne q$

ρ < 0

$\rho \lt 0$

X, Y

$X,Y$

X^{'} + Z, Y^{'} + Z

$X^\prime+Z, Y^\prime+Z$

— whuber

@yedaynara: Estou surpreso que você não tenha encontrado "nada", pois pesquisei no Google "simulação binomial correlacionada" e encontrei imediatamente este post no Stack Overflow .

— Xi'an

Gerando variáveis ​​aleatórias binomiais com determinada correlação

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