Relação entre a soma dos RVs gaussianos e a mistura gaussiana

Eu sei que uma soma de gaussianos é gaussiana. Então, como é diferente uma mistura de gaussianos?

Quero dizer, uma mistura de gaussianos é apenas uma soma de gaussianos (onde cada gaussiano é multiplicado pelo respectivo coeficiente de mistura), certo?

Uma soma ponderada das variáveis ​​aleatórias gaussianas p ∑ i = 1 β i X i é uma variável aleatória gaussiana : se ( X 1 , … , X p ) ∼ N p ( μ , Σ ) então β T ( X 1 , … , X p ) ∼ N 1 ( $X_1,\ldots,X_p$

$$\sum_{i=1}^p \beta_i X_i$$ $$(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_p(\mu,\Sigma)$$ $$\beta^\text{T}(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_1(\beta^\text{T}\mu,\beta^\text{T}\Sigma\beta)$$

Uma mistura de densidades gaussianas tem uma densidade dada como uma soma ponderada das densidades gaussianas : que quase invariavelmente não é igual a um gaussiano densidade. Veja, por exemplo, a densidade azul estimada da mistura abaixo (onde a faixa amarela é uma medida da variabilidade da mistura estimada):

$$f(\cdot;\theta)=\sum_{i=1}^p \omega_i \varphi(\cdot;\mu_i,\sigma_i)$$

[Fonte: Marin e Robert, Bayesian Core , 2007]

$X\sim f(\cdot;\theta)$

$$X=\sum_{i=1}^p \mathbb{I}(Z=i) X_i = X_{Z}$$ $X_i\sim\text{N}_p(\mu_i,\sigma_i)$$Z$$\mathbb{P}(Z=i)=\omega_i$ $$Z\sim\text{M}(1;\omega_1,\ldots,\omega_p)$$

E aqui está um código R para complementar a resposta @ Xi'an:

par(mfrow=c(2,1))
nsamples <- 100000

# Sum of two Gaussians
x1 <- rnorm(nsamples, mean=-10, sd=1)
x2 <- rnorm(nsamples, mean=10, sd=1)
hist(x1+x2, breaks=100)

# Mixture of two Gaussians
z <- runif(nsamples)<0.5 # assume mixture coefficients are (0.5,0.5)
x1_x2 <- rnorm(nsamples,mean=ifelse(z,-10,10),sd=1)
hist(x1_x2,breaks=100)

A distribuição da soma de variáveis ​​aleatórias independentes é a convolução de suas distribuições. Como você observou, a convolução de dois gaussianos é gaussiana.

$X,Y$$Z$$X$$Y$$Z=X$$Z=Y$