A covariância de variáveis padronizadas é a correlação?

Eu tenho uma pergunta básica. Digamos que eu tenha duas variáveis aleatórias, e . Eu posso padronizá-los subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão, ou seja, $X$ $Y$ . $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$

Representa a correlação de e , , o mesmo como a covariância dos versões padronizadas de e ? Isto é, é $X$ $Y$ $Cor(X, Y)$ $X$ $Y$ ? $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$

correlation covariance standardization

— Jake Fisher
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Sim.

${}{}{}{}{}$

— precisa saber é o seguinte

Então, sim!

\begin{aligned} corr (X, Y) & = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \\ Cov (X_{padronizado}, Y_{padronizado}) & = E [(\frac{(X - E (X))}{(S D (X))} - 0 0) \times (\frac{(Y - E (Y))}{(S D (Y))} - 0 0)] \\ = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$

— Hemant Rupani
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O que???? O lado direito da sua primeira equação é uma variável aleatória, enquanto o lado esquerdo é uma constante.

— precisa saber é o seguinte

Errr no. A pergunta é sobre correlação e covariância de variáveis aleatórias, enquanto sua resposta é sobre correlação e covariância de amostras . Por exemplo, o resultado questionado se aplica a variáveis aleatórias contínuas, enquanto na melhor das hipóteses o que você aplica somente a variáveis aleatórias discretas assumindo valores

com igual probabilidade

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

— precisa saber é o seguinte

i

$i$

Você está tomando SD (X) e SD (Y) fora das expectativas. Explique o raciocínio desta etapa um pouco mais, por favor.

— Erdogan CEVHER

As constantes do @Erdogan podem ser obtidas fora da função Expected () sem alterações.

— Hemant Rupani

A covariância de variáveis ​​padronizadas é a correlação?

A covariância de variáveis padronizadas é a correlação?