A mediana é uma propriedade "métrica" ​​ou "topológica"?

Peço desculpas pelo leve abuso de terminologia; Espero que fique claro o que quero dizer abaixo.

Considere uma variável aleatória . Tanto a média quanto a mediana podem ser caracterizadas por um critério de otimalidade: a média é o número que minimiza e a mediana esse número que minimiza . Nesta perspectiva, a diferença entre média e mediana é a escolha de "métrica" ​​para avaliar desvios, o quadrado ou o valor absoluto.$X$$\mu$$\mathrm E((X - \mu)^2)$$\mathrm E(|X - \mu|)$

Por outro lado, a mediana é o número para o qual (assumindo continuidade absoluta), ou seja, essa definição depende apenas da capacidade de ordenar valores de e é independente de quanto eles diferem. Uma conseqüência disso é que, para toda função estritamente crescente , , o que significa que é "topológica" no sentido de invariância sob transformações "semelhantes a borracha".$\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$$X$$f(x)$$\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

Agora eu fiz as contas e sei que, a partir do critério de otimização, posso chegar ao -quantile, então ambos descrevem a mesma coisa. Mas ainda estou confuso, porque minha intuição me diz que algo que depende de uma "métrica" ​​não pode levar a uma propriedade "topológica".$\frac12$

Alguém pode resolver esse enigma para mim?

A falha no seu raciocínio é que algo que depende de uma métrica não pode ser uma propriedade topológica.

Leve compacidade de espaços métricos. Isso pode ser definido em termos da métrica: compacidade significa que o espaço está completo (depende da métrica) e totalmente limitado (depende da métrica). Acontece, porém, que essa propriedade é invariável sob o homeomorfismo e, de fato, pode ser definida apenas em termos de topologia (sub-capas finitas de qualquer capa, da maneira usual).

Outro exemplo são as várias teorias de homologia. Somente a homologia singular é verdadeiramente topológica em sua definição. Todos os outros, simplais, celulares, De Rham (cohomologia, mas me concede um pouco de folga), etc, dependem de estrutura extra, mas acabam sendo equivalentes (e um pouco mais fáceis de trabalhar).

Isso ocorre muito em matemática, às vezes a maneira mais fácil de definir algo é em termos de alguma estrutura auxiliar e, em seguida, é demonstrado que a entidade resultante não depende, de fato, da escolha da estrutura auxiliar.