Um normal dividido por fornece uma distribuição t - prova

Seja e . $Z \sim N(0,1)$ $W \sim \chi^2(s)$

Se e são distribuídos independentemente, a variável segue uma distribuição com graus de liberdade . $Z$ $W$ $Y = \frac{Z}{\sqrt{W/s}}$ $t$ $s$

Estou procurando uma prova desse fato; uma referência é boa o suficiente se você não quiser escrever o argumento completo.

probability distributions references

— Monólito
fonte

Isso é demonstrado formalmente em stats.stackexchange.com/questions/52906 : a proporção, quando escrita como integral, é vista como uma mistura de gaussianos, e essa demonstração mostra que a mistura está na distribuição.

— whuber

Em alguns livros didáticos, essa é uma definição de distribuição t. Você não precisa provar isso. Como obter um pdf, dada essa definição, é uma pergunta válida.

— mpiktas 15/05

Respostas:

Seja uma variável aleatória qui-quadrado com graus de liberdade. Então a raiz quadrada de , é distribuída como uma distribuição chi com graus de liberdade, que tem densidade $Y$ $n$ $Y$ $\sqrt Y\equiv \hat Y$ $n$

\begin{matrix} (1) & f_{\hat{Y}} (\hat{y}) = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} {\hat{y}}^{n - 1} \exp {- \frac{{\hat{y}}^{2}}{2}} \end{matrix}

$f_{\hat Y}(\hat y) = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} \hat y^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {\hat y^2}{2}} \Big\} \tag{1}$

Definir . Então , e pela fórmula da mudança de variável, temos que $X \equiv \frac {1}{\sqrt n}\hat Y$ $\frac {\partial \hat Y}{\partial X} = \sqrt n$

f_{X} (x) = f_{\hat{Y}} (\sqrt{n} x) | \frac{\partial \hat{Y}}{\partial X} | = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} (\sqrt{n} x)^{n - 1} \exp {- \frac{(\sqrt{n} x)^{2}}{2}} \sqrt{n}

$f_{X}(x) = f_{\hat Y}(\sqrt nx)\Big |\frac {\partial \hat Y}{\partial X} \Big| = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} (\sqrt nx)^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {(\sqrt nx)^2}{2}} \Big\}\sqrt n$

\begin{matrix} (2) & = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} \exp {- \frac{n}{2} x^{2}} \end{matrix}

$=\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\} \tag{2}$

Seja uma variável aleatória normal padrão, independente das anteriores, e defina a variável aleatória $Z$

T = \frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} = \frac{Z}{X}

$T = \frac{Z}{\sqrt \frac Yn}= \frac ZX$ .

Pela fórmula padrão para a função densidade da razão de duas variáveis aleatórias independentes,

f_{T} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} | x | f_{Z} (x t) f_{X} (x) d x

$f_T(t) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_Z(xt)f_X(x)dx$

Mas para o intervalo porque é um rv não negativo. Portanto, podemos eliminar o valor absoluto e reduzir a integral para $f_X(x) = 0$ $[-\infty, 0]$ $X$

f_{T} (t) = \int_{0}^{\infty} x f_{Z} (x t) f_{X} (x) d x

$f_T(t) = \int_{0}^{\infty} xf_Z(xt)f_X(x)dx$

= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{(x t)^{2}}{2}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} \exp {- \frac{n}{2} x^{2}} d x

$= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \Big \{{-\frac{(xt)^2}{2}}\Big\}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\}dx$

\begin{matrix} (3) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} \int_{0}^{\infty} x^{n} \exp {- \frac{1}{2} (n + t^{2}) x^{2}} d x \end{matrix}

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) x^2\Big\} dx \tag{3}$

O integrando em parece promissor para eventualmente ser transformado em uma função de densidade gama. Os limites da integração estão corretos, portanto, precisamos manipular o integrando para se tornar uma função de densidade Gamma sem alterar os limites. Defina a variável $(3)$

m \equiv x^{2} \Rightarrow d m = 2 x d x \Rightarrow d x = \frac{d m}{2 x}, x = m^{\frac{1}{2}}

$m \equiv x^2 \Rightarrow dm = 2xdx \Rightarrow dx = \frac {dm}{2x}, \; x = m^{\frac 12}$ Fazendo a substituição no integrando, temos

\begin{matrix} (4) & I_{3} = \int_{0}^{\infty} x^{n} \exp {- \frac{1}{2} (n + t^{2}) m} \frac{d m}{2 x} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} m^{\frac{n - 1}{2}} \exp {- \frac{1}{2} (n + t^{2}) m} d m \end{matrix}

$I_3=\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big\} \frac {dm}{2x} \\ = \frac 12\int_{0}^{\infty} m^{\frac {n-1}{2}} \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big \} dm \tag{4}$

A densidade gama pode ser escrita

G a m m a (m; k, θ) = \frac{m^{k - 1} \exp {- \frac{m}{θ}}}{θ^{k} Γ (k)}

$Gamma(m;k,\theta) = \frac {m^{k-1} \exp\Big\{-\frac{m}{\theta}\Big \}}{\theta^k\Gamma(k)}$

Coeficientes correspondentes, devemos ter

k - 1 = \frac{n - 1}{2} \Rightarrow k^{*} = \frac{n + 1}{2}, \frac{1}{θ} = \frac{1}{2} (n + t^{2}) \Rightarrow θ^{*} = \frac{2}{(n + t^{2})}

$k-1 = \frac {n-1}{2} \Rightarrow k^* = \frac {n+1}{2}, \qquad \frac 1\theta =\frac 12 (n+t^2) \Rightarrow \theta^* = \frac 2 {(n+t^2)}$

Para esses valores de e os termos no integrando envolvendo a variável são o núcleo de uma densidade gama. Portanto, se dividirmos o integrando por e multiplicarmos fora da integral pela mesma magnitude, a integral será a distribuição gama. funcionar e será igual a unidade. Portanto, chegamos a $k^*$ $\theta^*$ $(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*)$

I_{3} = \frac{1}{2} (θ^{*})^{k^{*}} Γ (k^{*}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{n + t^{2}})^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) = 2^{\frac{n - 1}{2}} n^{- \frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$I_3 = \frac12(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*) = \frac12 \Big (\frac 2 {n+t^2}\Big ) ^{\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right) = 2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

Inserindo o acima na eq. temos $(3)$

f_{T} (t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} 2^{\frac{n - 1}{2}} n^{- \frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$f_T(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

= \frac{Γ [(n + 1) / 2]}{\sqrt{n π} Γ (n / 2)} {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$=\frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)}\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

... que é chamada de (função de densidade) da distribuição t do aluno, com graus de liberdade. $n$

— Alecos Papadopoulos
fonte

Embora ES Pearson não gostasse, o argumento original de Fisher era geométrico, simples, convincente e rigoroso. Baseia-se em um pequeno número de fatos intuitivos e facilmente estabelecidos. Eles são facilmente visualizados quando ou , onde a geometria pode ser visualizada em duas ou três dimensões. Com efeito, isso equivale ao uso de coordenadas cilíndricas em para analisar iid variáveis normais. $s=1$ $s=2$ $\mathbb{R}^s\times\mathbb{R}$ $s+1$

$s+1$ independentes e identicamente distribuídas As variáveis normais são esfericamente simétricas. Isso significa que a projeção radial do ponto na esfera unitária tem uma distribuição uniforme em . $X_1, \ldots, X_{s+1}$ $(X_1, \ldots, X_{s+1})$ $S^s \subset \mathbb{R}^{s+1}$ $S^s$
Uma é a soma dos quadrados das variáveis normais normais independentes de . $\chi^2(s)$ $s$
Assim, configurando e , a razão é a tangente da latitude do ponto em . $Z=X_{s+1}$ $W = X_1^2 + \cdots + X_s^2$ $Z/\sqrt{W}$ $\theta$ $(X_1, \ldots, X_s, X_{s+1})$ $\mathbb{R}^{s+1}$
$\tan\theta$ é inalterado por projeção radial em . $S^s$
O conjunto determinado por todos os pontos de latitude em é uma esfera dimensional de raio . Sua medida dimensional é proporcional a $\theta$ $S^s$ $s-1$ $\cos \theta$ $s-1$
$\cos^{s - 1} θ = (1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} .$ $\cos^{s-1}\theta = (1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}.$
O elemento diferencial é . $\mathrm{d}(\tan\theta) = \cos^{-2}\theta \,\mathrm{d}\theta = (1 + \tan^2\theta) \,\mathrm{d}\theta$
Escrever fornece , de onde e Juntas, essas equações implicamIncorporar o fator de em uma constante de normalização mostra que a densidade de é proporcional a $t = Z/\sqrt{W/s} = \sqrt{s}\tan\theta$ $\tan\theta = t/\sqrt{s}$
$1 + t^{2} / s = 1 + \tan^{2} θ$ $1+t^2/s = 1+\tan^2\theta$ $d t = \sqrt{s} d \tan θ = \sqrt{s} (1 + \tan^{2} θ) d θ .$ $\mathrm{d}t = \sqrt{s}\,\mathrm{d}\tan\theta = \sqrt{s}(1+\tan^2\theta)\,\mathrm{d}\theta.$ $d θ = \frac{1}{\sqrt{s}} {(1 + t^{2} / s)}^{- 1} d t .$ $\mathrm{d}\theta = \frac{1}{\sqrt{s}} \left(1+t^2/s\right)^{-1}\mathrm{d}t.$ $1/\sqrt{s}$ $C(s)$

$(1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} d θ = (1 + t^{2} / s)^{- (s - 1) / 2} (1 + t^{2} / s)^{- 1} d t = (1 + t^{2} / s)^{- (s + 1) / 2} d t .$ $(1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}\,\mathrm{d}\theta = (1 + t^2/s)^{-(s-1)/2}\ (1 + t^2/s)^{-1}\,\mathrm{d}t = (1 + t^2/s)^{-(s+1)/2}\,\mathrm{d}t.$

Essa é a densidade t de Student.

Figura

A figura mostra o hemisfério superior (com ) de em . Os eixos cruzados abrangem o hiper-planoOs pontos pretos fazem parte de uma amostra aleatória de uma distribuição normal padrão com variação : são os valores projetados para uma latitude constante , mostrada como a faixa amarela. A densidade desses pontos é proporcional ao volume dimensional dessa banda, que em si é um de raio . O cone sobre essa banda é desenhado para terminar a uma altura de . Até um fator de $Z \ge 0$ $S^s$ $\mathbb{R}^{s+1}$ $W$ $s+1$ $\theta$ $s-1$ $S^{s-1}$ $\theta$ $\tan \theta$ $\sqrt{s}$ , a distribuição t de Student com graus de liberdade é a distribuição dessa altura ponderada pela medida da faixa amarela ao normalizar a área da esfera unitária para a unidade. $s$ $S^s$

Aliás, a constante de normalização deve ser (como mencionado anteriormente) vezes os volumes relativos das esferas , $1/\sqrt{s}$

\begin{aligned} C (s) & = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{| S^{s - 1} |}{| S^{s} |} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} Γ (\frac{s + 1}{2} + 1)}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} Γ (\frac{s}{2} + 1)} \\ = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} (s + 1) / 2 Γ (\frac{s + 1}{2})}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} (s / 2) Γ (\frac{s}{2})} \\ = \frac{Γ (\frac{s + 1}{2})}{\sqrt{s π} Γ (\frac{s}{2})} . \end{aligned}

$\eqalign{ C(s) &= \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{|S^{s-1}|}{|S^s|} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} \Gamma(\frac{s+1}{2} + 1)}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} \Gamma(\frac{s}{2}+1)} \\ &=\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} (s+1)/2\Gamma(\frac{s+1}{2})}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} (s/2)\Gamma(\frac{s}{2})} \\ &= \frac{\Gamma(\frac{s+1}{2})}{\sqrt{s\pi}\Gamma(\frac{s}{2})}. }$

A expressão final, embora convencional, disfarça levemente a expressão inicial lindamente simples, que revela claramente o significado de . $C(s)$

Fisher explicou essa derivação para WS Gosset (o "Estudante" original) em uma carta. Gosset tentou publicá-lo, dando a Fisher o crédito total, mas Pearson rejeitou o jornal. O método de Fisher, aplicado ao problema substancialmente semelhante, porém mais difícil, de encontrar a distribuição de um coeficiente de correlação amostral, foi finalmente publicado.

Referências

RA Fisher, Distribuição de Frequência dos Valores do Coeficiente de Correlação em Amostras de uma População Indefinidamente Grande. Biometrika vol. 10, n ° 4 (maio de 1915), pp. 507-521. Disponível na Web em https://stat.duke.edu/courses/Spring05/sta215/lec/Fish1915.pdf (e em muitos outros lugares através da pesquisa, uma vez que este link desaparece).

Joan Fisher Box, Gosset, Fisher e a distribuição t. The American Statistician , vol. 35, n ° 2 (maio de 1981), pp. 61-66. Disponível na Web em http://social.rollins.edu/wpsites/bio342spr13/files/2015/03/Studentttest.pdf .

EL Lehmann, Fisher, Neyman e a Criação de estatística clássica. Springer (2011), capítulo 2.

— whuber
fonte

Esta é uma prova fantástica! Eu sinceramente espero que você encontre essa mensagem, embora já tenha se passado vários anos. No sexto passo desta prova, acredito que haja um erro. Cos ^ -2 (teta) = (1 + tan ^ 2 (teta)), não o inverso. Rezando para que haja uma solução fácil?

— Math Enthusiast

Obrigado por suas observações. Não encontro nenhum erro na etapa 6. Talvez você esteja tentando ler " " (que significa o poder de ) como se isso significasse " "?

\cos^{- 2} (θ)

$\cos^{-2}(\theta)$

- 2

$-2$

\cos (θ)

$\cos(\theta)$

{(ArcCos (θ))}^{2}

$\left(\operatorname{ArcCos}(\theta)\right)^{2}$

— whuber

Usei a identidade simples para deduzir que na Linha 5 Mas, pelo mesmo raciocínio da Linha 6, . Isso entra em conflito com a afirmação de que o elemento diferencial é igual a

s e c^{2} θ = t a n^{2} θ + 1

$sec^{2}\theta = tan^{2}\theta + 1$

c o s θ = (t a n^{2} θ + 1)^{- 1 / 2}

$cos\theta=(tan^{2}\theta+1)^{-1/2}$

c o s^{- 2} θ = s e c^{2} θ = (t a n^{2} θ + 1)

$cos^{-2}\theta = sec^{2}\theta = (tan^{2}\theta + 1)$

(t a n^{2} θ + 1)^{- 1}

$(tan^{2}\theta + 1)^{-1}$

— Math Enthusiast

@ Math Obrigado - você está certo, é claro. Eu editei os pontos (6) e (7) para corrigir a álgebra.

— whuber

Uau, que alívio! Boas festas para você

— Math Enthusiast

Eu tentaria mudar de variáveis. Defina e por exemplo. Então , . Então. Onde é a matriz Jacobiana da função de multivariada e de e . Então você pode integrar fora da densidade da junta. , , e $Y=\frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{s}}}$ $X=Z$ $Z=X$ $W=\frac{sX^2}{Y^2}$ $f_{X,Y}(x,y)=f_{Z,W}(x,\frac{sx^2}{y^2})|\det(J)|$ $J$ $Z$ $W$ $X$ $Y$ $x$ $\frac{\partial Z}{\partial X}=1$ $\frac{\partial Z}{\partial Y}=0$ $\frac{\partial W}{\partial X}=\frac{2sX}{Y^2}$ $\frac{\partial W}{\partial Y}=\frac{-2sX^2}{Y^3}$ .

J = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ * & \frac{- 2 s X^{2}}{Y^{3}} \end{matrix})

$J= \begin{pmatrix} 1&0\\ *&\frac{-2sX^2}{Y^3} \end{pmatrix}$

Então . Eu só dei uma olhada no Elementos de Teoria Distribuição por Thomas A. Severini e ali, eles tomam . A integração das coisas se torna mais fácil usando as propriedades de uma distribuição Gaama. Se eu usar , provavelmente precisaria completar quadrados. $|\det(J)|=\frac{2sx^2}{y^3}$ $X=W$ $X=Z$

Mas não quero fazer o cálculo.

— ztyh
fonte

Eu não votei em você, de fato, apenas votei em você. Mas acho que talvez o voto negativo tenha chegado antes da sua edição.

— Monolite

Desculpe por isso, vou ter cuidado a partir de agora.

— Ztyh 12/0515