Referências: Cauda do cdf inverso

Tenho quase certeza de que já vi o seguinte resultado nas estatísticas, mas não me lembro onde.

Se for uma variável aleatória positiva e então quando , onde é o CDF de . $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

É fácil ver geometricamente usando a igualdade e considerando um corte horizontal em da área sob a curva do integrando . $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

Você conhece uma referência para esse resultado e se ele tem um nome?

— Stéphane Laurent
fonte

O "mais geralmente" é uma aplicação direta de integração por partes. Isso dificilmente precisa de uma referência!

— whuber

@ whuber Também estou pedindo uma referência sobre o primeiro resultado.

— Stéphane Laurent

Você pode ter visto, ou pelo menos algo parecido, em stats.stackexchange.com/questions/18438 . Esse resultado é devido a uma substituição na integral, que novamente é tão básica que não se esperaria que fosse especialmente notado na literatura ou dado algum nome especial.

— whuber

@whuber Não vejo no seu link. Além disso, o resultado que mencionei também é verdadeiro para um discreto (considerando como uma sequência e substituindo por na declaração mais geral). O primeiro resultado é verdadeiro para um geral , eu acho.

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

— Stéphane Laurent

Eu acredito que isso poderia ser usado sem qualquer referência, desde que seja declarado em termos mais clássicos. Grosso modo, é: para com , uma conseqüência direta de: e de convergência dominada. Um pouco de trabalho é necessário para obter a instrução para inverso inverso à esquerda) no caso geral em que pode ter etapas.

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

— Yves

Para lidar com o "pouco trabalho" sugerido por Yves nos comentários, a geometria sugere uma prova rigorosa e totalmente geral.

Se desejar, você pode substituir todas as referências a áreas por integrais e referências a "arbitrário" pelos argumentos usuais epsilon-delta. A tradução é fácil.

Para configurar a imagem, seja a função de sobrevivência $G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

A figura traça uma parte do . (Observe o salto no gráfico: essa distribuição específica não é contínua.) Um grande limiar é mostrado e uma pequena probabilidade foi selecionada (para que ). $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

Estamos prontos para começar: o valor em que estamos interessados, (o que queremos mostrar converge para zero), é a área do retângulo branco com altura e base de a . Vamos relacionar essa área com a expectativa de , porque a única suposição disponível para nós é que essa expectativa existe e é finita. $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

A parte positiva da expectativa é a área sob a curva de sobrevivência (de a ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

Como deve ser finito (caso contrário, a expectativa em si não existiria e seria finita), podemos escolher tão grande que a área sob entre e responsável por todos, ou quase todos, por . $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

Todas as peças estão agora no lugar: o gráfico de , o limiar , a pequena altura e o ponto final à direita sugerem uma dissecção de nas áreas em que pode analisar: $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

Como vai a zero a partir de cima, a área do retângulo branco com base diminui para zero, porque permanece constante. ( É por isso que foi introduzido; é a ideia principal desta demonstração. ) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
A área azul pode ser feita tão perto de quanto você desejar, começando com um adequadamente grande e depois escolhendo pequeno . $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
Consequentemente, a área que sobra - que claramente não é maior que o retângulo branco com base de a - pode ser arbitrariamente pequena. (Em outras palavras, apenas ignore as áreas vermelha e dourada.) $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

Assim, quebramos em duas partes cujas áreas convergem para zero. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ Assim, , QED. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

— whuber
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