Diferença de duas variáveis ​​aleatórias lognormal iid

Seja e dois locais onde . Gostaria de saber a distribuição para .X 2 log ( X 1 ) , log ( X 2 ) ∼ N ( μ , σ ) X 1 - X $X_1$$X_2$$\log(X_1),\log(X_2) \sim N(\mu,\sigma)$$X_1 - X_2$

O melhor que posso fazer é pegar a série Taylor de ambos e entender que a diferença é a soma da diferença entre dois rv normais e dois qui-quadrado, além do restante da diferença entre os demais termos. Existe uma maneira mais direta de obter a distribuição da diferença entre 2 rv log-id normais?

Este é um problema difícil. Pensei primeiro em usar (alguma aproximação) a função geradora de momento da distribuição lognormal. Isso não funciona, como explicarei. Mas primeiro alguma notação:

Deixe ser a densidade normal padrão e Φ a correspondente função de distribuição cumulativa. Nós só irá analisar a distribuição log-normal caso l n N ( 0 , 1 ) , que tem a função de densidade de f ( x ) = $\phi$$\Phi$$lnN(0,1)$ e função de distribuição cumulativa F(x)=Φ(lnx) Suponha queXeYsejam variáveis ​​aleatórias independentes com a distribuição lognormal acima. Estamos interessados ​​na distribuição deD=X-Y, que é uma distribuição simétrica com média zero. VamosM(t)=Ede etXser a função geradora momento deX. É definido apenas para

$$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac12 (\ln x)^2}$$ $$F(x) =\Phi(\ln x)$$ $X$$Y$$D=X-Y$$M(t) = \DeclareMathOperator{\E}{E} \E e^{tX}$$X$ , portanto não definido em um intervalo aberto contendo zero. A função geradora de momentos para D é M D ( t ) = E e t ( X - Y ) = E e t X E e - t Y = M ( t ) M ( - t ) Portanto, a função geradora de momento para D é definida apenas para t = $t\in (-\infty,0]$$D$$M_D(t)=\E e^{t(X-Y)}= \E e^{tX} \E e^{-tY}= M(t)M(-t)$$D$$t=0$, então não é muito útil.

$D$$t\ge 0$

$$\begin{align} P(D \le t) &= P(X-Y\le t) \\ &= \int_0^\infty P(X-y\le t | Y=y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty P(X\le t+y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty F(t+y) f(y) \; dy \end{align}$$ $t<0$$P(D\le t)=1-P(D\le |t|)$

Esta expressão pode ser usada para integração numérica ou como base para simulação. Primeiro um teste:

 integrate(function(y) plnorm(y)*dlnorm(y), lower=0,  upper=+Inf)
  0.5 with absolute error < 2.3e-06

o que é claramente correto. Vamos encerrar isso dentro de uma função:

pDIFF  <-  function(t) {
    d  <-  t
    for (tt in seq(along=t)) {
        if (t[tt] >= 0.0) d[tt] <- integrate(function(y) plnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                         lower=0.0,  upper=+Inf)$value else
                          d[tt] <- 1-integrate(function(y) plnorm(y+abs(t[tt]))*dlnorm(y),
                                         lower=0.0, upper=+Inf)$value
    }
    return(d)
}

> plot(pDIFF,  from=-5,  to=5)

que dá:

Então podemos encontrar a função densidade, diferenciando-se sob o sinal integral, obtendo

dDIFF  <-  function(t) {
       d  <- t; t<- abs(t)
       for (tt in seq(along=t)) {
           d[tt]  <-  integrate(function(y) dlnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                lower=0.0,  upper=+Inf)$value
       }
       return(d)
}

que podemos testar:

> integrate(dDIFF,  lower=-Inf,  upper=+Inf)
0.9999999 with absolute error < 1.3e-05

E plotando a densidade que obtemos:

plot(dDIFF,  from=-5,  to=5)

Também tentei obter alguma aproximação analítica, mas até agora não obtive sucesso, não é um problema fácil. Mas a integração numérica como acima, programada em R, é muito rápida no hardware moderno, por isso é uma boa alternativa que provavelmente deve ser usada muito mais.

$X$$Y$

$$\begin{align} \Pr\left(\frac{X}{Y} \leq t\right) &= \Pr\left(\log\left(\frac{X}{Y}\right) \leq \log(t) \right) \\ &= \Pr(\log(X) - \log(Y) \leq \log(t)) \\ &\sim \mathcal{N}(0, 2 \sigma^2) \end{align}$$

Dependendo da sua aplicação, isso pode atender às suas necessidades.