Qual é a variação de longo prazo?

Como é definida a variação de longo prazo no domínio da análise de séries temporais?

Eu entendo que é utilizado no caso de haver uma estrutura de correlação nos dados. Assim, o nosso processo estocástico não seria uma família de $X_1, X_2 \dots$ iid variáveis aleatórias, mas sim apenas identicamente distribuídos?

Eu poderia ter uma referência padrão como uma introdução ao conceito e as dificuldades envolvidas em sua estimativa?

— Monólito
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related: stats.stackexchange.com/questions/154070/...

— Taylor

É uma medida do erro padrão da média da amostra quando há dependência serial.

Se $Y_t$ é covariância estacionária com $E(Y_t)=\mu$ e $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ (em uma configuração de iid, essa quantidade seria zero!) Tal que $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$ . Então

lim_{T \to \infty} {V a r [\sqrt{T} ({\bar{Y}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$ onde a primeira igualdade é definitiva, asegunda é um pouco mais difícil de estabelecere a terceira uma conseqüência da estacionariedade, o que implica que

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$ .

Portanto, o problema é realmente falta de independência. Para ver isso mais claramente, escreva a variação da média da amostra como

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

Um problema ao estimar a variação de longo prazo é que, obviamente, não observamos todas as autocovariâncias com dados finitos. Kernel (em econometria, "Newey-West" ou estimadores HAC) são usados para esse fim,

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$ é uma função do kernel ou ponderação, a

são autocovariâncias amostra.

, entre outras coisas, deve ser simétrico e ter

é um parâmetro de largura de banda.

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

Um kernel popular é o kernel Bartlett

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

— Christoph Hanck
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Obrigado! Eu verifiquei Análise de séries temporais por Hamilton. De fato, diz que uma maneira não paramétrica de estimar o espectro é tomar uma média ponderada das covariâncias da amostra, mas não se aprofunda na matemática por trás da determinação dessa afirmação. Você poderia sugerir um livro ou documento de referência que explique por que esse é um bom estimador quando o tamanho da amostra aumenta?

— Monolite

bom ponto. Feito algumas edições

— Christoph Hanck

Talvez valha a pena mencionar que a segunda etapa ("complicada") requer convergência dominada (consulte stats.stackexchange.com/questions/154070/… ).

— Tamas Ferenci

@TamasFerenci, obrigado pelo ponteiro, incluí o link.

— precisa saber é o seguinte

@ Christopher Hanck, de nada, obrigado pela atualização!

— Tamas Ferenci 23/11/19