Qual é o equivalente para cdfs do MCMC para pdfs?

Em conjunto com uma pergunta de Validação cruzada sobre a simulação de uma cópula específica, ou seja, um Cdf multivariado definido em , comecei a me perguntar sobre o panorama geral, como, quando dada tal função, alguém pode imaginar um algoritmo genérico para simular a partir da distribuição de probabilidade correspondente?[ 0 , 1 ] $C(u_1,\ldots,u_k)$$[0,1]^k$

Obviamente, uma solução é diferenciar vezes para produzir o pdf correspondente e depois chamar um algoritmo genérico do MCMC como Metropolis-Hastings para produzir uma amostra de (ou ).k κ ( u 1 , ... , u k$C$ $k$$\kappa(u_1,\ldots,u_k)$$C$$\kappa$

Além disso: Outra solução é seguir as cópulas arquimedianas, usando a transformação de Laplace-Stieljes para simulação, mas isso nem sempre é possível na prática. Como descobri ao tentar resolver a pergunta acima mencionada .

Minha pergunta é sobre evitar esse passo diferenciador de maneira genérica, se possível.

Esta é uma tentativa pela qual não trabalhei completamente, mas muito tempo para a seção de comentários. Pode ser útil colocá-lo aqui como outra alternativa básica para muito baixo . Não requer diferenciação explícita + MCMC (mas executa diferenciação numérica, sem MCMC).$k$

Algoritmo

Para small :$\varepsilon > 0$

1. Desenhe . Isso pode ser feito facilmente desenhando e calculando (que, se houver, pode ser feito numericamente). Este é um empate do pdf marginal .η ∼ Uniforme [ 0 , 1 ] $u_1 \sim C_1 \equiv C(U_1 = u_1,U_2 = 1,\ldots, U_k = 1)$$\eta \sim \text{Uniform}[0,1]$u1~κ(L1$C_1^{-1}(\eta)$$u_1 \sim \kappa(u_1)$
2. Para$j = 2\ldots k$
   • Defina que pode ser calculado como uma diferença de avaliado em vários pontos (que de maneira ingênua precisa de avaliações de para cada avaliação de ). é o condicional marginal aproximado de de dado .CO(2j-1)CD ( ε ) j D ( ε ) j εuju1,...,uj- $$D_j^{(\varepsilon)}(u_j|u_1,\ldots,u_{j-1}) \equiv \Pr\left( u_1 - \frac{\varepsilon}{2} \le U_1 \le u_1 + \frac{\varepsilon}{2} \land \dots \land u_{j-1} - \frac{\varepsilon}{2} \le U_{j-1} \le u_{j-1} + \frac{\varepsilon}{2} \land U_{j} \le u_j \land U_{j+1} \le 1 \dots \land U_{k} \le 1\right),$$ $C$$O(2^{j-1})$$C$$D_j^{(\varepsilon)}$$D_j^{(\varepsilon)}$$\varepsilon$$u_j$$u_1, \ldots, u_{j-1}$
   • Desenhe conforme o ponto 1, o que novamente deve ser fácil com inversão numérica.$u_j \sim D_j^{(\varepsilon)}(u_j|u_1,\ldots,u_{j-1})$

Discussão

Esse algoritmo deve gerar amostras de iid a partir de uma aproximação de de , em que depende apenas da precisão numérica. Existem detalhes técnicos práticos para refinar a aproximação e torná-la numericamente estável.C ( u 1 , ... , u k ) $\varepsilon$$C(u_1,\ldots,u_k)$$\varepsilon$

O problema óbvio é que a complexidade computacional é escalonada como ; portanto, para ser generoso, isso não é muito geral em termos de (mas o exemplo que você vinculou tinha , talvez esse método seja não completamente inútil - não estou familiarizado com o cenário típico no qual você teria acesso ao cdf). Por outro lado, para distribuições de dimensões muito baixas, isso poderia funcionar, e o custo é compensado pelo fato de que, diferentemente da outra solução genérica de "diferenciação + MCMC", não há necessidade de calcular derivados, as amostras são iid e existem não é sintonizado (além da opçãok k = 3 $O(2^{k})$$k$$k = 3$$\varepsilon$, que deve ser algo um pouco acima da precisão da máquina). E talvez haja maneiras de melhorar isso do que a abordagem ingênua.

Como eu mencionei, isso está fora de questão, então pode haver outros problemas.