significância da diferença entre duas contagens

Existe uma maneira de determinar se uma diferença entre uma contagem de acidentes de viação no tempo 1 é significativamente diferente de uma contagem no tempo 2?

Encontrei métodos diferentes para determinar a diferença entre grupos de observações em momentos diferentes (por exemplo, comparar médias de Poisson), mas não para comparar apenas duas contagens. Ou é inválido tentar? Qualquer conselho ou orientação seria apreciado. Fico feliz em acompanhar me lidera.

Se você está feliz em assumir que cada contagem segue uma distribuição de Poisson (com sua própria média sob a hipótese alternativa; com uma média comum sob o nulo), não há problema - é apenas que você não pode verificar essa suposição sem réplicas. Sobredispersão pode ser bastante comum com dados de contagem.

Um teste exato dado conta $x_1$ e $x_2$ é direto porque o total geral de contagens $n=x_1+x_2$ é auxiliar; condicionamento nele dá $X_1 \sim \mathrm{Bin}\left(\frac{1}{2},n\right)$como a distribuição de sua estatística de teste sob o valor nulo. ^†É um resultado intuitivo: a contagem geral, refletindo talvez quanto tempo você poderia se dar ao trabalho de observar os dois processos de Poisson, não carrega informações sobre suas taxas relativas, mas afeta o poder do seu teste; e, portanto, outras contagens gerais que você pode ter são irrelevantes.

Consulte Teste de hipótese baseado em verossimilhança para o teste de Wald (uma aproximação).

† Cada contagem tem uma distribuição Poisson com média λ i Reparametrize como em que é o que você está interessado, e é um parâmetro incômodo. A função de massa da junta pode ser reescrita: A contagem total de$x_i$$\lambda_i$

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} f{_X}(x_i)=\frac{\lambda_i^{x_i}\e^{-\lambda_i}}{x_i!}\qquad i=1,2$$ θϕ f X 1 , X 2 ( x 1 , x 2 $$\begin{align} \theta&=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\\ \phi&=\lambda_1+\lambda_2 \end{align}$$ $\theta$$\phi$ $$\begin{align} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)&=\frac{\lambda_1^{x_1}\lambda_2^{x_2}\e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{x_1!x_2!}\\ f_{X_1,N}(x_1,n)&=\frac{\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\cdot\phi^n\e^{-\phi}}{x_1!(n-x_1)!} \end{align}$$ $n$é auxiliar para , com uma distribuição Poisson com média enquanto o condicional distribuição de dado é binomial com probabilidade de Bernoulli & no. testes$\theta$$\phi$ $$\begin{align} f_N(n)&= \sum_{x_1=0}^{\infty}f_{X_1,N}(x_1,n)\\ &=\frac{\phi^n\e^{-\phi}}{n!}\sum_{x_1=0}^{\infty}\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\\ &=\frac{\phi^n\e^{-\phi}}{n!} \end{align}$$ $X_1$$n$$\theta$$n$ $$\begin{align} f_{X_1|n}(x_1;n)&=\frac{f_{X_1,N}(x_1,n)}{f_N(n)}\\ &=\frac{\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\cdot\phi^n\e^{-\phi}}{x_1!(n-x_1)!}\cdot\frac{n!}{\phi^n\e^{-\phi}}\\ &=\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1} \end{align}\\$$