A distribuição binomial tem a menor variação possível entre todas as distribuições "razoáveis" que podem modelar eleições binárias?

Imagine uma eleição em que pessoas façam uma escolha binária: votam a favor ou contra. O resultado é que pessoas votam em A e, portanto, o resultado de A é . $n$ $m$ $p=m/n$

Se eu quiser modelar estas eleições, eu posso assumir que cada pessoa vota para Um independentemente com probabilidade , levando à distribuição binomial de votos: Essa distribuição tem média e variância . $p$

votes for A \sim B i n o m (n, p) .

$\text{votes for A}\sim\mathsf{Binom}(n,p).$

m = n p

$m=np$

n p (1 - p)

$np(1-p)$

Eu também posso fazer outras suposições. Por exemplo, posso assumir que a probabilidade é ela própria uma variável aleatória proveniente de alguma distribuição (por exemplo, beta); isso pode levar a uma distribuição beta-binomial de votos para A. Ou posso assumir que as pessoas votam em grupos de , onde cada grupo de faz a mesma escolha e é A com probabilidade . Isso levará a uma distribuição binomial com maior variação. Em todos esses casos, a variação da distribuição resultante é maior do que no esquema binomial mais simples. $p$ $k$ $k$ $p$

Posso afirmar que a distribuição binomial tem a menor variação possível? Em outras palavras, essa afirmação pode ser, de alguma forma, precisa, por exemplo, especificando algumas condições razoáveis nas possíveis distribuições? Quais seriam essas condições?

Ou talvez haja alguma distribuição razoável que tenha menor variação?

Eu posso imaginar uma variação menor, por exemplo, quando todas as pessoas concordam com antecedência sobre como votarão e, portanto, os não são realmente uma variável aleatória, mas um número fixo . Então a variação é zero. Ou talvez quase todos concordassem, mas poucas pessoas não concordaram, e então pode-se ter uma pequena variação em torno de . Mas isso parece trapaça. Alguém pode ter uma variação menor que o binomial sem nenhum acordo prévio, isto é, quando cada pessoa vota em algum sentido aleatoriamente? $n$ $\text{votes for A}$ $m$ $m$

— ameba
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Uma questão relacionada: esses dados são sub-dispersos? Se sim, que mecanismos podem explicar isso?

— ameba

A distribuição binomial de Poisson tem variação máxima quando todos p_i são iguais (isto é, quando reduzidos a binomial) para média fixa e n. en.m.wikipedia.org/wiki/Poisson_binomial_distribution

— seanv507 23/09/16

@ seanv507 Obrigado, sim. Eu mesmo percebi isso em 2015, veja meu comentário na resposta do whuber. Mas se você quiser postar isso como uma resposta (elaborando o que é binômio de Poisson), terei prazer em votar.

— Ameba

Não .

$n=2k$ $k$

Você pode chorar, porque os maridos não estão votando aleatoriamente. Bem, eles estão - eles simplesmente estão intimamente ligados aos votos aleatórios de suas esposas. Se isso lhe incomoda, mude um pouco as coisas, pedindo que cada marido jogue dez moedas justas. Se todos os dez forem chefes, ele votará na esposa; caso contrário, ele vota contra ela. Você pode verificar se o resultado da eleição ainda tem uma pequena variação (embora diferente de zero), mesmo que todos os votos sejam imprevisíveis.

O cerne da questão está na covariância negativa entre dois blocos de votação, homens e mulheres.

— whuber
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p_{i}

$p_i$

p

$p$

\sum p_{i}

$\sum p_i$

n p

$np$

p_{i} = p

$p_i=p$

Claro: existem muitas maneiras de obter uma sub-dispersão (como eu vejo você tardiamente percebeu!). Eu apenas pensei que esse exemplo de marido e mulher era suficientemente claro, divertido e memorável para valer a pena escrever. Como se tratava de uma resposta, não seria apropriado enterrá-lo em um comentário (que é como ele começou a vida).

— whuber