O que é exatamente distribuído de acordo com a distribuição t?

Eu tento entender a idéia por trás da distribuição t. Aqui estão as etapas que eu entendi até agora:

Utilizamos uma amostra de N elementos para estimar a média da população. Em mais detalhes, usamos a média da amostra como uma estimativa da média da população.
Queremos saber o quão perto está nossa estimativa do valor real. Ou, mais especificamente, queremos saber quão grande deve ser o intervalo em torno da média da amostra, para que possamos dizer que a média da população está dentro desse intervalo com uma certa probabilidade.
Para responder a essa pergunta, assumimos que os valores na população são distribuídos de acordo com uma distribuição normal com uma média e desvio padrão conhecidos.
Tendo os parâmetros da distribuição dos valores na população, podemos calcular a distribuição da média da amostra em função da distribuição da população e do tamanho da amostra.
Podemos mostrar que a distribuição da média da amostra também é uma distribuição normal com a mesma média que a distribuição da população e o desvio padrão dados pela fórmula a seguir , em que é o tamanho da amostra . $s = \sigma/\sqrt{N}$ $N$
Tendo a distribuição da média da amostra, podemos calcular facilmente a probabilidade de que a média da amostra seja separada da média real por X. Ou, em outras palavras, podemos calcular a probabilidade de que a média da população esteja dentro de um determinado intervalo em torno da média da amostra .
É quase o que precisamos. O único problema é que, nas situações da vida real, geralmente não sabemos o desvio padrão da distribuição da população (e esse é o parâmetro que determina como a média da nossa amostra é distribuída em torno da média da população).
O que podemos fazer é substituir o desvio padrão da população pelo desvio padrão da amostra. Em outras palavras, substituímos o parâmetro exato e desconhecido por nossa estimativa aproximada dele.

Então, é aqui que estou até agora. Ao substituir a população STD pela amostra STD, pioramos nossa estimativa da distribuição da amostra. E para "compensar" esse valor "errado" dos parâmetros da distribuição, alteramos a forma da distribuição (dizemos que não é mais uma distribuição normal, é uma distribuição t). Mas o que exatamente é distribuído de acordo com a distribuição t? Quando conhecemos a população STD, sabemos como a média da amostra é distribuída em torno da média da população. Agora não conhecemos a população STD, mas isso não altera a distribuição da média da amostra em torno da média da população!

— romano
fonte

Você está muito perto ...

Se é uma amostra de observações normais de iid com média e variância , a média padronizada é normal normal. Agora, como você apontou, na realidade nunca sabemos . Portanto, substituímos pela estimativa amostral e consideramos a média "estudada" . Essa variável aleatória é um pouco diferente da acima. Consequentemente, sua distribuição é levemente não normal, ou seja, Student com graus de liberdade. $X_1, \dots, X_n$ $\mu$ $\sigma^2$

\frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ / \sqrt{n}}

$\frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$

σ

$\sigma$

σ

$\sigma$

S

$S$

T = \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{S / \sqrt{n}}

$T = \frac{\bar X_n-\mu}{S/\sqrt{n}}$

n - 1

$n-1$

Para não muito pequeno , está próximo de (essa é a consistência do desvio padrão da amostra). Então, a média padronizada é muito próxima da média estudada. Isso explica por que a distribuição de Alunos com muitos graus de liberdade se parece com a normal. $n$ $S$ $\sigma$

A média estudada é o ponto de partida para derivar intervalos de confiança e testes de hipótese para . $\mu$

Exemplo : Para encontrar um limite de confiança inferior a 95% para , você resolve a seguinte equação para . Para fazer isso, tente modificar a equação na probabilidade para que a média estudada apareça (tente descobrir as subetapas): Então você usa o fato de que tem uma distribuição de Student com df para se livrar da probabilidade: que é o correspondente quantil de 95%. Assim, $\bar X_n -c$ $\mu$

P ({\bar{X}}_{n} - c \leq μ) = 0.95

$P(\bar X_n -c \le \mu) = 0.95$

c

$c$

P (T \leq \frac{c}{S / \sqrt{n}}) = 0.95.

$P(T \le \frac{c}{S/\sqrt{n}}) = 0.95.$

T

$T$

n - 1

$n-1$

\frac{c}{S / \sqrt{n}} = q t_{0.95; n - 1},

$\frac{c}{S/\sqrt{n}} = qt_{0.95;n-1},$

q t_{0.95; n - 1}

$qt_{0.95;n-1}$

c = \frac{S}{\sqrt{n}} \cdot q t_{0.95; n - 1}

$c = \frac{S}{\sqrt{n}} \cdot qt_{0.95;n-1}$ e segue o (famoso) limite de confiança mais baixo:

{\bar{X}}_{n} - \frac{S}{\sqrt{n}} \cdot q t_{0.95; n - 1}

$\bar X_n - \frac{S}{\sqrt{n}} \cdot qt_{0.95;n-1}$

— Michael M
fonte

Isso significa que, em vez de falar sobre média amostral ( X_n), falamos sobre "média padronizada". Podemos dizer que a distribuição da média padronizada é normal, com média zero e DST igual a 1. Não, definimos outra variável substituindo a população STD pela amostra STD e dizemos que essa nova variável é distribuída de acordo com a distribuição t. ESTÁ BEM. A última coisa que não entendo é por que não substituímos a média da população pela média da amostra. Se não conhecemos o sigma, provavelmente também não conhecemos o mu.

— Roman

Nós fazemos! Mas a maioria das questões interessantes sobre como "no que variam vai estar com alta certeza" (-> intervalo de confiança) ou "é realmente diferente de 0" (-> teste de hipótese) são respondidas usando o fato de que o A média estudada segue uma distribuição de Student. Você não pode responder a perguntas como essa apenas olhando a estimativa.

μ

$\mu$

μ

$\mu$

μ

$\mu$

— Michael M