Por que a variação de uma amostra muda se as observações são duplicadas?

Diz-se que a variação é uma medida do spread. Então, eu pensei que a variação de 3,5é igual à variação de, 3,3,5,5uma vez que os números são igualmente distribuídos. Mas este não é o caso, a variação de 3,5é 2enquanto a variação de 3,3,5,5é 1 1/3.

Isso me intriga, dada a explicação de que a variação deve ser uma medida de propagação.

Então, nesse contexto, o que significa medida de spread ?

Se você definir a variação como - semelhante à variação da população mas com a média da amostra para \ mu , as duas amostras terão a mesma variação.$s^2_{n}=$$\,\text{MSE}\,$$=\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$$\mu$

Portanto, a diferença se deve exclusivamente à correção de Bessel na fórmula usual para a variação da amostra ( , que ajusta o fato de que a média da amostra está mais próxima dos dados do que a média da população, a fim de torná-la imparcial (assumindo o valor correto "em média").$s^2_{n-1}=\frac{n}{n-1}\cdot \text{MSE}=\frac{n}{n-1}\cdot \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$

O efeito desaparece gradualmente com o aumento do tamanho da amostra, pois $\frac{n-1}{n}$ vai para 1 como $n\to\infty$ .

Não há nenhuma razão específica para você usar o estimador imparcial para $s^2_n$ , a propósito - s ^ 2_n é um estimador perfeitamente válido e, em alguns casos, pode ter vantagens sobre a forma mais comum (a imparcialidade não é necessariamente tão grande assim). lidar).

A variação em si não é diretamente uma medida de spread. Se eu dobrar todos os valores no meu conjunto de dados, afirmo que eles são duas vezes mais "dispersos". Mas a variação aumenta em um fator de 4. Portanto, mais geralmente, diz-se que o desvio padrão, em vez da variação, é uma medida de spread.

Obviamente, o mesmo problema ocorre com o desvio padrão (a versão $s_{n-1}$ usual ) e com a variação - quando você duplica os pontos, o desvio padrão muda, pelo mesmo motivo que ocorre com a variação.

Em amostras pequenas, a correção de Bessel torna o desvio padrão um pouco menos intuitivo como medida de propagação por causa desse efeito (que duplicar a amostra altera o valor). Mas muitas medidas de propagação mantêm o mesmo valor ao duplicar a amostra; Vou mencionar alguns -

• $s_n$ (é claro)

• o desvio médio (absoluto) da média

• o desvio mediano (absoluto) da mediana

• o intervalo interquartil (pelo menos para algumas definições de quartis de amostra)

Como algum tipo de acelerador, . Portanto, o valor esperado da variação de uma amostra é muito baixo, com a diferença sendo a variação da média da amostra.$V\,X = E\,V\,X + V\,E\,X$

A fórmula usual de variação da amostra compensa isso, e a variação da média da amostra varia inversamente com o tamanho da amostra.

Como um exemplo extremo, a coleta de uma única amostra sempre mostrará uma variação de amostra de 0, obviamente não indicando uma variação de 0 para a distribuição subjacente.

Agora, para 2 e 4 amostras com peso uniforme, os fatores corretivos são e , respectivamente. Portanto, suas variações esperadas calculadas diferem por um fator de . A variação da própria amostra é em ambos os casos. Mas o primeiro caso apresenta um caso mais fraco para sendo a média da distribuição base, e qualquer outro valor significaria uma variação maior.$2/1$$4/3$$2/3$$1$$4$