Estimadores não enviesados de assimetria e curtose

A assimetria e curtose são definidas como:

ζ_{3} = \frac{E [(X - μ)^{3}]}{E [(X - μ)^{2}]^{3 / 2}} = \frac{μ_{3}}{σ^{3}}

$\zeta_3 = \frac{E[(X-\mu)^3]}{E[(X-\mu)^2]^{3/2}} = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$

ζ_{4} = \frac{E [(X - μ)^{4}]}{E [(X - μ)^{2}]^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}

$\zeta_4 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{E[(X-\mu)^2]^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

As fórmulas a seguir são usadas para calcular a assimetria e curtose da amostra:

z_{3} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{Eu = 1}^{n} [(x_{Eu} - \bar{x})^{3}]}{(\frac{1}{n} \sum_{Eu = 1}^{n} [(x_{Eu} - \bar{x})^{2}])^{3 / 2}}

$z_3 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^3]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^{3/2}}$

z_{4} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{Eu = 1}^{n} [(x_{Eu} - \bar{x})^{4}]}{(\frac{1}{n} \sum_{Eu = 1}^{n} [(x_{Eu} - \bar{x})^{2}])^{2}}

$z_4 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^4]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^2}$

Minha pergunta é: esses estimadores são imparciais? Não sei se devo usar o desvio padrão imparcial ou o desvio no denominador.

Em geral, se tivermos uma função cujas variáveis são estimadores imparciais, podemos dizer que é um estimador imparcial? $f$ $f$

skewness unbiased-estimator kurtosis

— SiXUlm
fonte

Veja as páginas 8-9 de http://modelingwithdata.org/pdfs/moments.pdf . Observe também http://www.amstat.org/publications/jse/v19n2/doane.pdf para obter algumas perspectivas úteis para colocar seu pensamento no estado de espírito certo.

Observe que o que você provavelmente está chamando de desvio padrão imparcial é um estimador enviesado do desvio padrão Por que o desvio padrão da amostra é um estimador enviesado de ? $\sigma$ , embora antes de obter a raiz quadrada seja um estimador imparcial de variância.

Uma função não linear de um estimador imparcial não será necessariamente imparcial ("quase certamente" não será). A direção do viés pode ser determinada por Desigualdade de Jensen https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality se a função for convexa ou côncava.

— Mark L. Stone
fonte

Obrigado! Parece que as fórmulas dos estimadores "bons" são muito longas. Se eu usar outros mais simples, isso realmente causa problemas sérios? Btw, eu sempre entendi errado que std de amostra é um estimador UNBIASED de , isso também responde à minha segunda pergunta.

σ

$\sigma$

— precisa saber é o seguinte

Você precisa decidir se deseja a melhor resposta que pode obter ou não. se você quiser a melhor resposta, pague o preço com complicações, se necessário.

— Mark L. Stone

Viés não é necessariamente ruim. Você também deve considerar a variação. A proximidade do estimador com o estimador pode ser medida usando o desvio ao quadrado esperado de estimador para o estimador, que é igual à variação do estimador mais o viés quadrado do estimador. Em muitos casos, existe um "compromisso de desvio de variância", em que o aumento do desvio é mais do que compensado pela redução na variação. Eu apostaria que isso é verdade para as estimativas de curtose e assimetria. Alguém quer postar alguma pesquisa sobre isso?

— Peter Westfall

existe uma troca nesse caso?

— Xiaoxiong Lin 02/04/19

@filippo modelingwithdata.org/about_the_book.html

— Mark L. Stone

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