Variação do produto das variáveis dependentes

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Qual é a fórmula para variação do produto de variáveis dependentes?

No caso de variáveis independentes, a fórmula é simples:

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2} = v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$ Mas qual é a fórmula para variáveis correlacionadas?

A propósito, como posso encontrar a correlação com base nos dados estatísticos?

correlation variance

— Riga
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Bem, usando a identidade familiar que você apontou,

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$

Usando a fórmula análoga para covariância,

E (X^{2} Y^{2}) = c o v (X^{2}, Y^{2}) + E (X^{2}) E (Y^{2})

$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$

e

E (X Y)^{2} = [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

o que implica que, em geral, pode ser escrito como ${\rm var}(XY)$

c o v (X^{2}, Y^{2}) + [v a r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v a r (Y) + E (Y)^{2}] - [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

Observe que, no caso de independência, e isso reduz a ${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$

[v a r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v a r (Y) + E (Y)^{2}] - [E (X) E (Y)]^{2}

$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$

e os dois termos são cancelados e você obtém $[ E(X)E(Y) ]^{2}$

v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$

como você apontou acima.

Editar: se tudo o que você observa é e não e separadamente, não creio que haja uma maneira de você estimar ou exceto em casos especiais (por exemplo, se tiverem meios conhecidos a priori ) $XY$ $X$ $Y$ ${\rm cov}(X,Y)$ ${\rm cov}(X^2,Y^2)$ $X,Y$

— Macro
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2

por que você coloca [var (X) + E (X) 2] ⋅ [var (Y) + E (Y) 2] em vez de E (X2) E (Y2) ???

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@ user35458, para que ele possa acabar com a equação como uma expressão de var (X) e var (Y), portanto comparável à instrução do OP. Observe que E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 #

— Waldir Leoncio

2

Para responder (offline) a um desafio agora excluído da validade dessa resposta, comparei seus resultados ao cálculo direto da variação do produto em muitas simulações. Não é uma fórmula prática a ser usada se você puder evitá-la, pois pode perder precisão substancial através do cancelamento ao subtrair um termo grande de outro - mas esse não é o ponto. Uma armadilha a ter em atenção é que esta questão diz respeito a variáveis aleatórias. Seus resultados se aplicam aos dados, desde que você calcule variações e covariâncias usando denominadores de vez de $n$ $n-1$ (como é habitual no software).

— whuber

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Este é um adendo à ótima resposta do @ Macro, que estabelece exatamente o que é necessário saber para determinar a variação do produto de duas variáveis aleatórias correlacionadas. Como onde , , , e

\begin{aligned} (1) & var (X Y) & = E [(X Y)^{2}] - {(E [X Y])}^{2} \\ = E [(X Y)^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (2) & = E [X^{2} Y^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (3) & = (cov (X^{2}, Y^{2}) + E [X^{2}] E [Y^{2}]) - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

E [X]

$E[X]$

E [Y]

$E[Y]$

E [X^{2}]

$E[X^2]$

E [Y^{2}]

$E[Y^2]$ Como se pode presumir que são quantidades conhecidas, precisamos determinar o valor de em ou em . Isso não é fácil de fazer em geral, mas, como já apontado, se e são variáveis aleatórias independentes , . De fato, dependência, não correlação (ou falta dela) é a questão principal. O fato de sabermos que é igual a vez de algum valor diferente de zero, por si só,

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

(2)

$(2)$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(3)

$(3)$

X

$X$

Y

$Y$

cov (X, Y) = cov (X^{2}, Y^{2}) = 0

$\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

0

$0$ ajuda no mínimo em nossos esforços estão determinando o valor de ou mesmo que não simplificar os lados direito e um pouco.

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(2)

$(2)$

(3)

$(3)$

Quando e são variáveis aleatórias dependentes , em pelo menos um caso especial (bastante comum ou bastante importante), é possível encontrar o valor de relativa facilidade. $X$ $Y$ $E\left[X^2Y^2\right]$

Suponha que e sejam variáveis aleatórias conjuntamente normais com coeficiente de correlação . Então, condicionada em , a densidade condicional de é uma densidade normal com média e variação . Assim, $X$ $Y$ $\rho$ $X = x$ $Y$ $E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$ $\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$

\begin{aligned} E [X^{2} Y^{2} ∣ X] & = X^{2} E [Y^{2} ∣ X] \\ = X^{2} [var (Y) (1 - ρ^{2}) + {(E [Y] + ρ \sqrt{\frac{var (Y)}{var (X)}} (X - E [X]))}^{2}] \end{aligned}

$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$ que é uma função quártica de , digamos , e a Lei da Expectativa Iterada nos diz que onde o lado direito de pode ser calculado a partir do conhecimento do 3º e 4º momentos do - resultados padrão que podem ser encontrados em muitos textos e livros de referência (significando que tenho preguiça de procurá-los e incluí-los nesta resposta).

X

$X$

g (X)

$g(X)$

\begin{matrix} (4) & E [X^{2} Y^{2}] = E [E [X^{2} Y^{2} ∣ X]] = E [g (X)] \end{matrix}

$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$

(4)

$(4)$

X

$X$

Adendo adicional: em uma resposta agora excluída, o @Hydrologist fornece a variação de como e afirma que esta fórmula é de dois artigos publicados há meio século na JASA. Esta fórmula é uma transcrição incorreta dos resultados nos artigos citados por Hydrologist. Especificamente, $XY$

\begin{matrix} (5) & V a r [x y] = {(E [x])}^{2} V a r [y] + {(E [y])}^{2} V a r [x] + 2 E [x] C o v [x, y^{2}] + 2 E [y] C o v [x^{2}, y] + 2 E [x] E [y] C o v [x, y] + C o v [x^{2}, y^{2}] - {(C o v [x, y])}^{2} \end{matrix}

$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$

C o v [x^{2}, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$ é uma tradução incorreta de no artigo da revista e da mesma forma para e .

E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}]

$E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$

C o v [x^{2}, y]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$

C o v [x, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$

— Dilip Sarwate
fonte

Para o cálculo de no caso normal conjunto, consulte também math.stackexchange.com/questions/668641/…

E (X^{2} Y^{2})

$E(X^2 Y^2)$

— Samuel Reid

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