O que significa "imparcialidade"?

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O que significa dizer que "a variação é um estimador tendencioso".
O que significa converter uma estimativa tendenciosa em uma estimativa imparcial por meio de uma fórmula simples. O que essa conversão faz exatamente?
Além disso, qual é o uso prático dessa conversão? Você converte essas pontuações ao usar certo tipo de estatística?

theory unbiased-estimator descriptive-statistics

— acima
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Você pode encontrar tudo aqui . No entanto, aqui está uma resposta breve.

Seja e a média e a variação de interesse; você deseja estimar base em uma amostra do tamanho . $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma^2$ $n$

Agora, digamos que você use o seguinte estimador:

, $S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_{i} - \bar{X})^2$

onde é o estimador de. $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $\mu$

Não é muito difícil (ver nota de rodapé) ver que . $E[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$

Uma vez que , o estimador é dito para ser tendencioso. $E[S^2] \neq \sigma^2$ $S^2$

Mas observe que . Portanto $E[\frac{n}{n-1} S^2] = \sigma^2$ é um estimador imparcial de. $\tilde{S}^2 = \frac{n}{n-1} S^2$ $\sigma^2$

Nota de rodapé

Comece escrevendo e expanda o produto ... $(X_i - \bar{X})^2 = ((X_i - \mu) + (\mu - \bar{X}))^2$

Edite para dar conta dos seus comentários

O valor esperado de não fornece (e, portanto, é enviesado), mas acontece que você pode transformar em para que a expectativa dê . $S^2$ $\sigma^2$ $S^2$ $S^2$ $\tilde{S}^2$ $\sigma^2$

Na prática, muitas vezes prefere trabalhar com em vez de . Mas, se for grande o suficiente, isso não será um grande problema, já que $\tilde{S}^2$ $S^2$ $n$ . $\frac{n}{n-1} \approx 1$

Observação Observe que a imparcialidade é uma propriedade de um estimador, não de uma expectativa, como você escreveu.

— ocram
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Quero dizer mais em termos teóricos. Posso encontrar a fórmula em qualquer livro, mas estou mais interessado na explicação em palavras. A expectativa do sigma é imparcial e podemos transformar a estimativa em expectativa?

— upabove

Também estou perguntando sobre os aspectos práticos disso, você usa essa conversão enquanto realiza análises?

— upabove

@ocram O que é

? É o tamanho da amostra? Ou número de amostras colhidas? Ou ambos?

n

$n$

— quirik

@quirik: A suposição é que uma única amostra é coletada e que essa amostra é do tamanho n

— ocram

@ram Como então calculamos o valor esperado de variação se tivermos uma amostra? o que estou perdendo?

— quirik

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Esta resposta esclarece a resposta do ocram. A razão chave (e mal-entendidos comum) para é que usos a estimativa que é em si estimada a partir de dados. $E[S^2] \neq \sigma^2$ $S^2$ $\bar{X}$

Se você trabalhar com a derivação, verá que a variância dessa estimativa é exatamente o que fornece o adicional $E[(\bar{X}-\mu)^2]$ termo $-\frac{\sigma^2}{n}$

— Harsh
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A explicação que o @Ocram deu é ótima. Para explicar o que ele disse em palavras: se calcularmos dividindo apenas , (o que é intuitivo), nossa estimativa de será subestimada. Para compensar, dividimos por . $s^2$ $n$ $s^2$ $n-1$

$P(2) = .25$ $P(6) = .75$ $\mu$ $\sigma$ $\mu$ $\sigma$ $n = 3$ $n =3$ $s^2$

Às vezes, você precisa sujar as mãos.

— Adão
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Obrigado pela ajuda. Algumas perguntas: Em seu exercício: a que tipo de distribuição você está se referindo, Binomial? Como assim, compõem uma probabilidade discreta? Você quer dizer calcular todas as probabilidades de 2 e 6 em diferentes tamanhos de amostra?

— precisa saber é o seguinte

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Geralmente, usar "n" no denominador fornece valores menores do que a variação populacional que é o que queremos estimar. Isso acontece especialmente se as pequenas amostras forem coletadas. No idioma da estatística, dizemos que a variação da amostra fornece uma estimativa "tendenciosa" da variação da população e precisa ser "imparcial".

Este vídeo responderá a cada parte da sua pergunta adequadamente.

https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE

— Sahil Chaudhary
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