Variância de combinações lineares de variáveis aleatórias correlacionadas

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Entendo a prova de que

V a r (a X + b Y) = a^{2} V a r (X) + b^{2} V a r (Y) + 2 a b C o v (X, Y),

$Var(aX+bY) = a^2Var(X) +b^2Var(Y) + 2abCov(X,Y),$ mas não sei Não entendo como provar a generalização para combinações lineares arbitrárias.

Seja escalares para para que tenhamos um vetor , e seja um vetor de variáveis aleatórias correlacionadas. Então $a_i$ $i\in {1,\dots ,n}$ $\underline a$ $\underline X = X_i,\dots ,X_n$

V a r (a_{1} X_{1} + \dots a_{n} X_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} σ_{i}^{2} + 2 \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j > i}^{n} a_{i} a_{j} Cov (X_{i}, X_{j})

$Var(a_1X_1 + \dots a_nX_n) = \sum_{i=1}^n a_i^2 \sigma_i^2 + 2 \sum_{i=1}^n \sum_{j>i}^n a_i a_j \text{ Cov}(X_i,X_j)$ Como provamos isso? Eu imagino que há provas na notação somatória e na notação vetorial?

mathematical-statistics variance

— Hatshepsut
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Este é apenas um exercício para aplicar propriedades básicas de somas, linearidade de expectativa e definições de variância e covariância

\begin{aligned} var (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i}) & = E [{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i})}^{2}] - {(E [\sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i}])}^{2} & one definition of variance \\ = E [\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j} X_{i} X_{j}] - {(E [\sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i}])}^{2} & basic properties of sums \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j} E [X_{i} X_{j}] - {(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} E [X_{i}])}^{2} & linearity of expectation \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j} E [X_{i} X_{j}] - \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j} E [X_{i}] E [X_{j}] & basic properties of sums \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j} (E [X_{i} X_{j}] - E [X_{i}] E [X_{j}]) & combine the sums \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j} cov (X_{i}, X_{j}) & apply a definition of covariance \\ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} var (X_{i}) + 2 \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j : j > i}^{n} a_{i} a_{j} cov (X_{i}, X_{j}) & re-arrange sum \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) &= E\left[\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right)^2\right] - \left(E\left[\sum_{i=1}^n a_i X_i\right]\right)^2 &\scriptstyle{\text{one definition of variance}}\\ &= E\left[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j X_iX_j\right] - \left(E\left[\sum_{i=1}^n a_i X_i\right]\right)^2 &\scriptstyle{\text{basic properties of sums}}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j E[X_iX_j] - \left(\sum_{i=1}^n a_i E[X_i]\right)^2 &\scriptstyle{\text{linearity of expectation}}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j E[X_iX_j] - \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ia_j E[X_i]E[X_j] &\scriptstyle{\text{basic properties of sums}}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j \left(E[X_iX_j] - E[X_i]E[X_j]\right)&\scriptstyle{\text{combine the sums}}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j\operatorname{cov}(X_i,X_j) &\scriptstyle{\text{apply a definition of covariance}}\\ &= \sum_{i=1}^n a_i^2\operatorname{var}(X_i) + 2\sum_{i=1}^n \sum_{j\colon j > i}^n a_ia_j\operatorname{cov}(X_i,X_j) &\scriptstyle{\text{re-arrange sum}}\\ \end{align}$

cov (X_{i}, X_{i})

$\operatorname{cov}(X_i,X_i)$

var (X_{i})

$\operatorname{var}(X_i)$

— Dilip Sarwate
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Na verdade, você pode fazer isso por recursão sem usar matrizes:

$\text{Var}(a_1X_1+Y_1)$ $Y_1=a_2X_2+Y_2$

$\text{Var}(a_1X_1+Y_1)$

$\qquad=a_1^2\text{Var}(X_1)+2a_1\text{Cov}(X_1,Y_1)+\text{Var}(Y_1)$

$\qquad=a_1^2\text{Var}(X_1)+2a_1\text{Cov}(X_1,a_2X_2+Y_2)+\text{Var}(a_2X_2+Y_2)$

$\qquad=a_1^2\text{Var}(X_1)+2a_1a_2\text{Cov}(X_1,X_2)+2a_1\text{Cov}(X_1,Y_2)+\text{Var}(a_2X_2+Y_2)$

$Y_{i-1}=a_iX_i+Y_i$ $Y_{n-1}=a_nX_n$

Com vetores (portanto, o resultado deve ser escalar):

$\text{Var}(a'\,X)=a'\,\text{Var}(X)\,a$

Ou com uma matriz (o resultado será uma matriz de variância-covariância):

$\text{Var}(A\,X)=A\,\text{Var}(X)\,A'$

$A$

Mesmo se você souber apenas os resultados univariados, poderá confirmá-los verificando elemento por elemento.

— Glen_b -Reinstate Monica
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Basicamente, a prova é a mesma que a primeira fórmula. Vou provar que usa um método muito brutal.

$Var(a_1X_1+...+a_nX_n)=E[(a_1X_1+..a_nX_n)^2]-[E(a_1X_1+...+a_nXn)]^2 =E[(a_1X_1)^2+...+(a_nX_n)^2+2a_1a_2X_1X_2+2a_1a_3X_1X_3+...+2a_1a_nX_1X_n+...+2a_{n-1}a_nX_{n-1}X_n]-[a_1E(X1)+...a_nE(X_n)]^2$

$=a_1^2E(X_1^2)+...+a_n^2E(X_n^2)+2a_1a_2E(X_1X_2)+...+2a_{n-1}a_nE(X_{n-1}X_n)-a_1^2[E(X_1)]^2-...-a_n^2[E(X_n)]^2-2a_1a_2E(X_1)E(X_2)-...-2a_{n-1}a_nE(X_{n-1})E(X_n)$

$=a_1^2E(X_1^2)-a_1^2[E(X_1)]^2+...+a_n^2E(X_n^2)-a_n^2[E(Xn)]^2+2a_1a_2E(X_1X_2)-2a_1a_2E(X_1)E(X_2)+...+2a_{n-1}a_nE(X_{n-1}X_n)-2a_{n-1}a_nE(X_{n-1})E(X_n)$

Em seguida, observe:

$a_n^2E(X_n^2)-a_n^2[E(X_n)]^2=a_n\sigma_n^2$

e

$2a_{n-1}a_nE(X_{n-1}X_n)-2a_{n-1}a_nE(X_{n-1})E(X_n)=2a_{n-1}a_nCov(X_{n-1},Xn)$

— Norte profundo
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Apenas por diversão, prova por indução!

$P(k)$ $Var[\sum_{i=1}^k a_iX_i] = \sum_{i=1}^k a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^k \sum _{j>i}^k a_ia_jCov[X_i, X_j]$

$P(2)$

Vamos assumir que P (k) é verdadeiro. Portanto,

$Var[\sum_{i=1}^{k+1} a_iX_i] = Var[\sum_{i=1}^{k} a_iX_i + a_{k+1}X_{k+1}]$

$=Var[\sum_{i=1}^{k} a_iX_i] + Var[a_{k+1}X_{k+1}] + 2 Cov[\sum_{i=1}^{k} a_iX_i,a_{k+1}X_{k+1}]$

$=\sum_{i=1}^k a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^k \sum _{j>i}^k a_ia_jCov[X_i, X_j]+ a_{k+1}^2\sigma_{k+1}^2 + 2Cov[\sum_{i=1}^{k} a_iX_i, a_{k+1}X_{k+1}]$

$=\sum_{i=1}^{k+1} a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^k \sum _{j>i}^k a_ia_jCov[X_i, X_j] + 2\sum_{i=1}^ka_ia_{k+1}Cov[X_i, X_{k+1}]$

$=\sum_{i=1}^{k+1} a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^{k+1} \sum _{j>i}^{k+1} a_ia_jCov[X_i, X_j]$

$P(k+1)$

Então, por indução,

$Var[\sum_{i=1}^n a_iX_i] = \sum_{i=1}^n a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^n \sum _{j>i}^n a_ia_jCov[X_i, X_j]$ $n \geq 2$

— Jonathan
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Variância de combinações lineares de variáveis ​​aleatórias correlacionadas

Variância de combinações lineares de variáveis aleatórias correlacionadas