Quando as aproximações das séries de Taylor às expectativas de funções (inteiras) convergem?


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Tome uma expectativa da forma para alguma variável aleatória univariada e uma função inteira (ou seja, o intervalo de convergência é toda a linha real)E(f(X))Xf()

Eu tenho um momento gerando função para e, portanto, pode facilmente calcular momentos inteiros. Use uma série de Taylor em torno de e aplique a expectativa em termos de uma série de momentos centrais, = f (\ mu) + \ sum_ {n = 2 } ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (\ mu)} {n!} E \ left [(x - \ mu) ^ n \ right] Trunque esta série, E_N (f (x) ) = f (\ mu) + \ sum_ {n = 2} ^ {N} \ frac {f ^ {(n)} (\ mu)} {n!} E \ esquerda [(x - \ mu) ^ n \direita] XμE(x)

E(f(x))=E(f(μ)+f(μ)(xμ)+f(μ)(xμ)22!+)
=f(μ)+n=2f(n)(μ)n!E[(xμ)n]
EN(f(x))=f(μ)+n=2Nf(n)(μ)n!E[(xμ)n]

Minha pergunta é: sob quais condições a variável aleatória (e também qualquer coisa adicional em f() ) converge a aproximação da expectativa à medida que adiciono termos (por exemplo, limNEN(f(x))=E(f(x)) ).

Como ele não parece convergir para o meu caso (uma variável aleatória poisson f(x)=xα ), existem outros truques para encontrar expectativas aproximadas com momentos inteiros quando essas condições falham?



@ Jonathan Obrigado. Veja minhas edições agora que ficaram mais claras. Muito útil, apesar de não ter conseguido decifrá-lo. A partir disso, parece que uma condição suficiente para que isso funcione é que minha variável aleatória esteja fortemente concentrada? Embora eu esteja tendo problemas para resolver exatamente como usar a Desigualdade de Hoeffding etc. para comparar com essas notas.
Jlperla

O que você quer dizer com "uma variável aleatória de poisson "? Esse é um caso ou dois e qual é o pdf? f(x)=xα
2224 Carl

@Carl Há alguns anos, mas se bem me lembro, a variável era para alguns com PDF em en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution . Essa era a função em que eu assumia a expectativa. ou seja,xPoisson(λ)λf(x)E(f(x))
jlperla

Não tenho certeza do que você está perguntando. Que tal os momentos mais altos da distribuição de Poisson sobre a origem serem polinômios de Touchard em : onde {chaves} indicam números Stirling do segundo tipo? mkλ
mk=i=0kλi{ki},
2222 Carl

Respostas:


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Supondo que seja analítico real, Converge quase certamente (de fato com certeza) para .f

yn=f(μ)+f(μ)(xμ)+f(μ)(xμ)22!++f(n)(μ)(xμ)nn!
f(x)

Uma condição padrão sob a qual como convergência implica convergência de expectativa, ou seja, é que como para alguns tais que . (Teorema da Convergência Dominada.)

E[f(x)]=E[limnyn]=limnE[yn],
|yn|yyE[y]<

Esta condição seria válida se a série de potência convergir absolutamente como, por exemplo, e

y=n0|f(n)(μ)||xμ|nn!<a.s.
E[y]<.

Seu exemplo de uma variável aleatória Poisson , , sugere que a integrabilidade acima do critério de limite absoluto é a mais fraca possível, em geral.f(x)=xααZ+


-1

A aproximação convergirá se a função f (x) admitir a expansão de séries de potência, isto é, todas as derivadas existem. Também será totalmente alcançado se derivadas de um limite específico e acima forem iguais a zero. Você pode consultar Populis [3-4] e Stark and Woods [4].


"Também será totalmente alcançado se as derivadas de um limite específico e acima forem iguais a zero". Se as derivadas existem e são iguais a zero, essa não é outra maneira de dizer polinômio?
Acumulação

Isso não é verdade. Quando "todas as derivadas existem" no ponto da expansão das séries de potência, ela não precisa convergir para lugar algum. (O exemplo padrão é a série Maclaurin de ) Outro é que, mesmo quando a série converge em algum momento, ela não precisa convergir para todos os lugares. Um exemplo simples é a série Maclaurin deQuando isso ocorre, a convergência depende dos detalhes da variável aleatória. Por exemplo, suponha que tenha qualquer distribuição t de Student e considereEventualmente, nem existe! e1/x2.1/(1x).X
1/(1X)=1+X+X2++Xn+.
E(Xn)
whuber
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