A amostragem de uma distribuição normal dobrada é equivalente a amostragem de uma distribuição normal truncada em 0?

Desejo simular a partir de uma densidade normal (digamos, média = 1, dp = 1), mas quero apenas valores positivos.

Uma maneira é simular a partir do normal e pegar o valor absoluto. Penso nisso como um normal dobrado.

Vejo em R que existem funções para geração de variáveis ​​aleatórias truncadas. Se eu simular a partir de um normal truncado (truncamento em 0), isso é equivalente à abordagem dobrada?

Sim, as abordagens fornecem os mesmos resultados para uma distribuição normal com média zero .

Basta verificar se as probabilidades concordam com os intervalos, porque elas geram a álgebra sigma de todos os conjuntos mensuráveis ​​(Lebesgue). Seja a densidade normal padrão: fornece a probabilidade de que uma variável normal padrão esteja no intervalo .Então, para , a probabilidade truncada é$\Phi$$\Phi((a,b])$$(a,b]$$0 \le a \le b$

$$\Phi_{\text{truncated}}((a,b]) = \Phi((a,b]) / \Phi([0, \infty]) = 2\Phi((a,b])$$

(porque ) e a probabilidade dobrada é$\Phi([0, \infty]) = 1/2$

$$\Phi_{\text{folded}}((a,b]) = \Phi((a,b]) + \Phi([-b,-a)) = 2\Phi((a,b])$$

devido à simetria de sobre .$\Phi$$0$

Esta análise vale para qualquer distribuição que seja simétrica em torno de e tenha probabilidade zero de ser . Se a média for diferente de zero , no entanto, a distribuição não é simétrica e as duas abordagens não fornecem o mesmo resultado, como mostram os mesmos cálculos.$0$$0$

Este gráfico mostra as funções de densidade de probabilidade para uma distribuição Normal (1,1) (amarela), uma distribuição Normal dobrada (1,1) (vermelha) e uma distribuição Normal (1,1) truncada (azul). Observe como a distribuição dobrada não compartilha a forma característica da curva em sino com as outras duas. A curva azul (distribuição truncada) é a parte positiva da curva amarela, escalada para ter área unitária, enquanto a curva vermelha (distribuição dobrada) é a soma da parte positiva da curva amarela e sua cauda negativa (como refletido em torno de o eixo y).

Seja . A distribuição de definitivamente não é a mesma que a de.$X \sim N(\mu = 1, SD=1)$$X|X > 0$$|X|$

Um teste rápido em R:

x <- rnorm(10000, 1, 1)
par(mfrow=c(2,1))
hist(abs(x), breaks=100)
hist(x[x > 0], breaks=100)

Isso fornece o seguinte.