Estimar a variação de uma população se a média da população for conhecida

Eu sei que usamos para estimar a variação de uma população. Lembro-me de um vídeo da Khan Academy em que a intuição apresentada foi de que nossa média estimada provavelmente está um pouco abaixo da atual, portanto as distâncias seriam realmente maiores, então dividimos por menos ( vez de ) obter um valor maior, resultando em uma melhor estimativa. E lembro-me de ler em algum lugar que não preciso dessa correção se tiver a média da população real vez de . Então eu estimaria Mas não consigo mais encontrá-lo. É verdade? Alguém pode me dar um ponteiro?$\frac1{n-1}\sum\limits_i(x_i - \bar{x})^2$$x_i - \bar{x}$$n-1$$n$
$\mu$$\bar{x}$$\frac1{n}\sum\limits_i(x_i - \mu)^2$

Sim, é verdade. Na linguagem das estatísticas, diríamos que, se você não tem conhecimento da média da população, então a quantidade

$$\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(x_i-\bar{x} \right)^2$$

é imparcial, o que significa simplesmente que estima a variação da população corretamente em média . Mas se você sabe o significado da população, não há necessidade de usar uma estimativa para isso - é para isso que serve a - e a correção de amostra finita que vem com ela.$\bar{x}$

De fato, pode ser demonstrado que a quantidade

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(x_i-\mu \right)^2$$

não é apenas imparcial, mas também apresenta uma variação menor que a quantidade acima. Isso é bastante intuitivo, pois parte da incerteza foi removida. Então, usamos este nesta situação.

Vale a pena notar que os estimadores diferem muito pouco em grandes amostras e, portanto, são assintoticamente equivalentes .