As variáveis aleatórias e dependem?

Podemos dizer algo sobre a dependência de uma variável aleatória e a função de uma variável aleatória? Por exemplo, depende de ? $X^2$ $X$

probability random-variable

— Rohit Banga
fonte

X

$X$ e

f (X)

$f(X)$ são independentes, então

f (X)

$f(X)$ é constante quase certamente. Ou seja, existe

a

$a$ tal que

P (f (X) = a) = 1

$\mathbb P(f(X) = a) = 1$ .

— cardeal

@ cardinal -por que não fazer disso uma resposta ?

— Karl

@ cardinal, eu queria pedir a John para elaborar seu comentário. Eu tinha como certo que a função considerada era uma determinada função determinística. No processo, acabei escrevendo um argumento para o resultado que você declarou. Quaisquer comentários são bem-vindos e apreciados.

— NRH

Sim,

X^{2}

$X^2$ depende de

X

$X$ , pois se você conhece

X

$X$ então conhece

X^{2}

$X^2$ .

X

$X$ e

Y

$Y$ são apenas independentes se o conhecimento do valor

X

$X$ não afetou o seu conhecimento da distribuição de

Y

$Y$ .

— Henry

@iamrohitbanga: Se

X \in {- 1, 1}

$X \in \{-1,1\}$ então

X^{2} = 1

$X^2 = 1$ quase certamente. Portanto,

X

$X$ é independente de

X^{2}

$X^2$ neste caso muito particular.

— cardeal

Respostas:

Aqui está uma prova do comentário do @ cardinal com um pequeno toque. Se e são independentes, então $X$ $f(X)$ Tomandoproduz a equação que tem as duas soluções 0 e 1. Assim,

\begin{array}{lcl} P (X \in A \cap f^{- 1} (B)) & = & P (X \in UMA, f (X) \in B) \\ = & P (X \in UMA) P (f (X) \in B) \\ = & P (X \in UMA) P (X \in f^{- 1} (B)) \end{array}

$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$

A = f^{- 1} (B)

$A = f^{-1}(B)$

P (f (X) \in B) = P (f (X) \in B)^{2},

$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$

para todos

. Em completa generalidade, não é possível dizer mais. Se

são independentes, em seguida,

é uma variável de tal modo que para qualquer

é ou em

ou em

com probabilidade 1. Para dizer mais, é preciso mais hipóteses, por exemplo, que os conjuntos únicos

são mensuráveis.

P (f (X) \in B) \in {0, 1}

$P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$

B

$B$

X

$X$

f (X)

$f(X)$

f (X)

$f(X)$

B

$B$

B

$B$

B^{c}

$B^c$

{b}

$\{b\}$

No entanto, detalhes no nível teórico da medida não parecem ser a principal preocupação do OP. Se é real é uma função real (e usamos o Borel álgebra, digamos), assumindo , segue-se que a função de distribuição para a distribuição de leva apenas o valores 0 e 1, portanto, existe um no qual ele salta de para e $X$ $f$ $\sigma$ $B = (-\infty, b]$ $f(X)$ $b$ $0$ $1$ $P(f(X) = b) = 1$ .

No final do dia, a resposta à pergunta PO é que e são circunstâncias muito especiais geralmente dependentes e apenas sob independente. Além disso, a medida de Dirac sempre se qualifica para uma distribuição condicional de dada , que é uma maneira formal de dizer que, conhecendo , você também sabe exatamente o que $X$ $f(X)$ $\delta_{f(x)}$ $f(X)$ $X = x$ $X = x$ $f(X)$ é. Essa forma especial de dependência com uma distribuição condicional degenerada é característica para funções de variáveis aleatórias.

— NRH
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(+1) Desculpe. Enquanto escrevia minha resposta, não recebi uma atualização que você também enviou. :)

— cardeal

Lema : Seja uma variável aleatória e seja uma função (mensurável por Borel) de forma que e sejam independentes. Então é constante quase certamente. Isto é, existe alguma tal que . $X$ $f$ $X$ $f(X)$ $f(X)$ $a \in \mathbb R$ $\mathbb P(f(X) = a) = 1$

A prova está abaixo; mas, primeiro, algumas observações. A mensurabilidade de Borel é apenas uma condição técnica para garantir que possamos atribuir probabilidades de maneira razoável e consistente. A afirmação "quase certamente" também é apenas um detalhe técnico.

A essência do lema é que se queremos e a ser independente, então os nossos únicos candidatos são funções da forma . $X$ $f(X)$ $f(x) = a$

Compare isso com o caso das funções modo que e não estejam correlacionados . Essa é uma condição muito, muito mais fraca. De fato, considere qualquer variável aleatória com média zero, terceiro momento absoluto finito e que seja simétrica em torno de zero. Tome , como no exemplo da pergunta. Então $f$ $X$ $f(X)$ $X$ $f(x) = x^2$ , então e não estão correlacionados. $\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$ $X$ $f(X) = X^2$

Abaixo, dou a prova mais simples que pude apresentar para o lema. Eu fiz isso extremamente detalhado, para que todos os detalhes sejam o mais óbvios possível. Se alguém vê maneiras de melhorá-lo ou simplificá-lo, eu gostaria de saber.

Ideia de prova : Intuitivamente, se conhecemos , conhecemos . Portanto, precisamos encontrar algum evento em , a álgebra sigma gerada por , que relaciona nosso conhecimento de ao de . Em seguida, usamos essas informações em conjunto com a suposta independência de e para mostrar que nossas opções disponíveis para foram severamente restringidas. $X$ $f(X)$ $\sigma(X)$ $X$ $X$ $f(X)$ $X$ $f(X)$ $f$

Prova de lema : Recorde-se que e são independentes se e somente se para todos e , . Seja para alguma função mensurável de Borel $X$ $Y$ $A \in \sigma(X)$ $B \in \sigma(Y)$ $\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$ $Y = f(X)$ $f$ de modo que e sejam independentes. Defina . Então, e desde $X$ $Y$ $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$

UMA (y) = {ω : X (ω) \in f^{- 1} ((- \infty, y])}

$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$

(- \infty, y]

$(-\infty,y]$ é um conjunto de Borel e

é Borel-mensurável, então

. É também um conjunto Borel Isto implica que

(por definição ! () de

f

$f$

f^{- 1} ((- \infty, y])

$f^{-1}((-\infty,y])$

A (y) \in σ (X)

$A(y) \in \sigma(X)$

σ (X)

$\sigma(X)$

Desde que e são assumidos independentemente e , em seguida, $X$ $Y$ $A(y) \in \sigma(X)$ E isso vale para todo . Mas, por definição de

P (X \in UMA (y), Y \leq y) = P (X \in UMA (y)) P (Y \leq y) = P (f (X) \leq y) P (f (X) \leq y),

$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$

y \in R

$y \in \mathbb R$

A (y)

$A(y)$

Combinando esses dois últimos, obtemos que paracada

P (X \in UMA (y), Y \leq y) = P (f (X) \leq y, Y \leq y) = P (f (X) \leq y) .

$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$

y \in R

$y \in \mathbb R$

então

. Isso significa que deve haver alguma constante

tal que a função de distribuição de

salte de zero a um por

. Em outras palavras,

quase certamente.

P (f (X) \leq y) = P (f (X) \leq y) P (f (X) \leq y),

$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$

P (f (X) \leq y) = 0

$\Pr(f(X) \leq y) = 0$

P (f (X) \leq y) = 1

$\Pr(f(X) \leq y) = 1$

a \in R

$a \in \mathbb R$

f (X)

$f(X)$

a

$a$

f (X) = a

$f(X) = a$

$f(X) = a$ $X$ $f(X)$

— cardeal
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+1, lamento - roubar seu argumento não é muito educado. É ótimo que você tenha explicado a diferença entre independência e não correlação nesse contexto.

— NRH 01/10

Nenhum "roubo" envolvido, nem falta de educação. :) Embora muitas das idéias e comentários sejam semelhantes (como seria de esperar em uma pergunta como essa!), Acho que os dois posts são bem complementares. Em particular, gosto de como, no início de sua postagem, você não se restringia a variáveis aleatórias com valor real.

— cardeal

A @NRH aceitar sua resposta como parte inicial de sua prova parece mais fácil de entender para um novato como eu. No entanto, +1 cardeal para sua resposta.

— Rohit Banga

As variáveis ​​aleatórias e dependem?

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