Como amostrar de uma distribuição normal com média e variação conhecidas usando uma linguagem de programação convencional?

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Eu nunca tive um curso de estatística, então espero estar perguntando no lugar certo aqui.

Suponha que eu tenha apenas dois dados descrevendo uma distribuição normal: a média e a variação . Eu quero usar um computador para amostrar aleatoriamente essa distribuição, de modo que eu respeite essas duas estatísticas. $\mu$ $\sigma^2$

É bastante óbvio que eu posso lidar com a média simplesmente normalizando em torno de 0: basta adicionar a cada amostra antes de gerar a amostra. Mas não vejo como gerar programaticamente amostras para respeitar . $\mu$ $\sigma^2$

Meu programa estará em uma linguagem de programação convencional; Não tenho acesso a nenhum pacote estatístico.

normal-distribution sampling computing

— Fixee
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Seu idioma possui gerador de números aleatórios? Este gerador é apenas de distribuição uniforme ou também pode ser gerado a partir de distribuição normal?

— precisa saber é o seguinte

@ttnphns: Praticamente toda linguagem de computador vem com um gerador de números aleatórios. Eles são geradores extremamente uniformes em algum domínio finito.

— Fixee

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Se você pode amostrar de uma determinada distribuição com média 0 e variação 1, poderá facilmente amostrar a partir de uma transformação de escala-local dessa distribuição, que possui e variância . Se é uma amostra de uma distribuição média de 0 e variância 1, então é uma amostra com média $\mu$ $\sigma^2$ $x$

σ x + μ

$\sigma x + \mu$

e variância

. Portanto, tudo o que você precisa fazer é dimensionar a variável pelo desvio padrão

(raiz quadrada da variância)antes deadicionar a média

.

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ

$\sigma$

μ

$\mu$

Como você realmente obtém uma simulação de uma distribuição normal com média 0 e variação 1 é uma história diferente. É divertido e interessante saber como implementar essas coisas, mas se você usa um pacote estatístico ou uma linguagem de programação, recomendo que você obtenha e use uma função ou biblioteca adequada para a geração de números aleatórios. Se desejar orientação sobre qual biblioteca usar, adicione informações específicas sobre a (s) linguagem (s) de programação que você está usando.

Editar: À luz dos comentários, algumas outras respostas e o fato de que o Fixee aceitou essa resposta, darei mais alguns detalhes sobre como se pode usar transformações de variáveis uniformes para produzir variáveis normais.

Um método, já mencionado em um comentário de VitalStatistix , é o método Box-Muller que pega duas variáveis aleatórias uniformes independentes e produz duas variáveis aleatórias normais independentes. Um método semelhante que evita o cálculo de duas funções transcendentais sin e cos à custa de mais algumas simulações foi postado como resposta pela francogrex .
Um método completamente geral é a transformação de uma variável aleatória uniforme pela função de distribuição inversa. Se é distribuído uniformemente em então possui uma distribuição normal padrão. Embora não exista uma fórmula analítica explícita para , ela pode ser calculada por aproximações numéricas precisas. A implementação atual em R (verifiquei pela última vez) usa essa ideia. O método é conceitualmente muito simples, mas requer uma implementação precisa de , que provavelmente não é tão difundida quanto as (outras) funções transcendentais $U$ $[0,1]$ $Φ^{- 1} (U)$ $\Phi^{-1}(U)$ $\Phi^{-1}$ $\Phi^{-1}$ log , pecado e cos .
Várias respostas mencionam a possibilidade de usar o teorema do limite central para aproximar a distribuição normal como uma média de variáveis aleatórias uniformes. Isso geralmente não é recomendado. Argumentos apresentados, como combinar a média 0 e a variância 1, e considerações de apoio à distribuição não são convincentes. No Exercício 2.3, em "Introduzindo Métodos de Monte Carlo com R", de Christian P. Robert e George Casella, esse gerador é chamado de antiquado e a aproximação é chamada de muito pobre .
Há um número desconcertante de outras idéias. Capítulo 3 e, em particular, Seção 3.4, em "A Arte da Programação por Computador", vol. 2 de Donald E. Knuth é uma referência clássica na geração de números aleatórios. Brian Ripley escreveu Geração de variáveis aleatórias por computador: um tutorial , que pode ser útil. O livro mencionado por Robert e Casella, ou talvez o Capítulo 2 em seu outro livro, "Métodos estatísticos de Monte Carlo", também é recomendado.

No final do dia, um método implementado corretamente não é melhor que o gerador de números pseudo-aleatórios uniformes usado. Pessoalmente, prefiro confiar em bibliotecas para fins especiais que acredito serem confiáveis. Quase sempre confio nos métodos implementados no R diretamente no R ou através da API no C / C ++. Obviamente, isso não é uma solução para todos, mas não estou familiarizado o suficiente com outras bibliotecas para recomendar alternativas.

— NRH
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(+1) Boas respostas e conselhos para o PO.

— cardeal

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\sqrt{- 2 \log (U_{1})} \cos (2 π U_{2})

$\sqrt{-2 \log(U_1) } \cos(2\pi U_2)$

\sqrt{- 2 \log (U_{1})} \sin (2 π U_{2})

$\sqrt{-2 \log(U_1) }\sin(2\pi U_2)$

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@Vital: Não é um comentário desnecessário; uma boa. A transformação Box-Muller é provavelmente a mais fácil de programar, com poucas chances de inadvertidamente fazer algo ruim. Não é o mais rápido , mas é competitivo o suficiente. Dito isto, o uso de uma biblioteca de códigos estabelecida provavelmente é ainda mais seguro, principalmente porque o local onde é mais provável que você cometa um passo em falso é como as entradas variáveis aleatórias uniformes são geradas!

— cardeal

@Vital: Obrigado, é isso que eu estava procurando. Se você deseja converter seu comentário em uma resposta, eu o aprovaria com prazer.

— Fixee

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@VitalStatistix, é um ótimo comentário e parece que era isso que o OP estava procurando. Por que não transformá-lo em resposta e talvez elaborá-lo um pouco sobre a idéia geral de usar transformações de variáveis aleatórias uniformes. Hesitei em fazer isso pelo motivo que o cardeal menciona principalmente porque não sei se o gerador de uniforme padrão de qualquer idioma é um bom gerador.

— NRH

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Este é realmente um comentário sobre a resposta de Michael Lew e o comentário de Fixee, mas é postado como resposta porque não tenho reputação neste site para comentar.

$[0, 1]$ $6$ $1$

E [\sum_{i = 1}^{12} X_{i}] = \sum_{i = 1}^{12} E [X_{i}] = 12 \times \frac{1}{2} = 6

$E\left [\sum_{i=1}^{12} X_i\right ] = \sum_{i=1}^{12} E[X_i] = 12\times \frac{1}{2} = 6$

var [\sum_{i = 1}^{12} X_{i}] = \sum_{i = 1}^{12} var [X_{i}] = 12 \times \frac{1}{12} = 1.

$\text{var} \left [\sum_{i=1}^{12} X_i\right ] = \sum_{i=1}^{12} \text{var}[X_i] = 12\times \frac{1}{12} = 1.$

\sum_{i = 1}^{12} X_{i} - 6

$\sum_{i=1}^{12} X_i - 6$

\sqrt{10 / 12}

$\sqrt{10/12}$

\sum_{i = 1}^{12} X_{i} - 6

$\sum_{i=1}^{12} X_i - 6$

[- 6, 6]

$[-6, 6]$

6

$6$

— Dilip Sarwate
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5

Além da resposta da NRH, se você ainda não tem como gerar amostras aleatórias a partir de uma "distribuição normal padrão" N (0,1), abaixo é uma maneira boa e simples (desde que você mencione que não possui uma estatística) pacote, as funções abaixo devem estar disponíveis na maioria das linguagens de programação padrão).

1. Gere u e v como dois números aleatórios distribuídos uniformemente no intervalo de -1 a 1 por
u = 2 r1 - 1ev = 2 r2 - 1

2.calculate w = u^2 + v^2se w> 1 voltar para 1

3.rode u * z e y = v * z com z= sqrt(-2ln(w)/w) Um código de amostra ficaria assim:

u = 2 * random() - 1;
v = 2 * random() - 1;
w = pow(u, 2) + pow(v, 2);
if (w < 1) {
    z = sqrt((-2 * log(w)) / w);
    x = u * z;
    y = v * z;
    }

então use o que MHR sugeriu acima para obter os desvios aleatórios de N(mu, sigma^2).

— francogrex
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Quando postei minha resposta acima, não percebi que o @vitalStatistix deu a você o algoritmo Box-Muller Transform. O que eu dou acima também é tão bom, suponho.

— Francogrex #

2

Você poderia explicar o motivo da geração de variáveis normais a partir de distribuição uniforme (exceto de uma perspectiva algorítmica) e não apenas o uso direto do pdf de uma distribuição Gaussiana / Normal? Ou é totalmente errado?

— Arun

4

@Arun Uma razão: o método polar da Marsaglia é útil quando você tem apenas um RNG que gera desvios uniformes.

— chl

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@ Arun é a maneira mais fácil. Você também pode gerar diretamente do pdf usando, por exemplo, o método "rejeição de aceitação". Postei para você um exemplo simples no meu site (porque não há espaço suficiente na caixa de comentários aqui).

— Francogrex #

4

A distribuição normal surge quando se soma muitos valores aleatórios de distribuição semelhante (quero dizer, similares um ao outro). Se você adicionar dez ou mais valores aleatórios distribuídos uniformemente, a soma será quase normalmente distribuída. (Adicione mais de dez se quiser que seja ainda mais normal, mas dez é suficiente para quase todos os fins.)

Diga que seus valores aleatórios uniformes são distribuídos uniformemente entre 0 e 1. A soma será então entre 0 e 10. Subtraia 5 da soma e a média da distribuição resultante será 0. Agora você divide o resultado pelo desvio padrão de a distribuição normal (quase) e multiplique o resultado pelo desvio padrão desejado. Infelizmente, não sei ao certo qual é o desvio padrão da soma de dez desvios aleatórios uniformes, mas se tivermos sorte, alguém nos dirá em um comentário!

Prefiro conversar com os alunos sobre a distribuição normal nesses termos, porque a utilidade da suposição de uma distribuição normal em muitos sistemas decorre inteiramente da propriedade de que as somas de muitas influências aleatórias levam a uma distribuição normal.

— Michael Lew
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Você está usando o limite central aqui (que um monte de variáveis aleatórias iid soma uma variável aleatória normal). Não pensei nisso porque pensei que seria muito lento, mas você diz que 10 é suficiente ?! Isso é melhor do que computar um log e um pecado / cos e um sqrt!

— Fixee 03/10

Além disso, a média do uniforme rv em [0,1] é 0,5 com variação 1/12. Se você soma 10, obtém uma média de 5 e variação 10/12 = 5/6.

— Fixee 03/10

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Do ponto de vista pedagógico, esse método fornece uma discussão e demonstração úteis e agradáveis. No entanto, eu desencorajaria fortemente qualquer pessoa a usar essa abordagem na prática.

— cardeal

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\log

$\log$

\sin

$\sin$

\cos

$\cos$

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@ Michael: Declarar que fornece a distribuição "correta" é um pouco exagerado, principalmente porque a distribuição aproximada tem suporte compacto e, em muitas aplicações, a pessoa se importa com a eficiência com que as variáveis podem ser geradas. :) O ponto é que existem várias opções muito melhores disponíveis. Mas ainda acho que isso fornece algo útil pedagogicamente.

— cardeal