Como calcular o intervalo de confiança da razão de duas médias normais

Eu quero derivar os limites para o intervalo de confiança de para a razão de duas médias. Suponha que e sejam independentes, a razão média . Tentei resolver: mas essa equação não pôde ser resolvida em muitos casos (sem raízes). Estou fazendo algo errado? Existe uma abordagem melhor? obrigado $100(1-\alpha)\%$
$X_1 \sim N(\theta_1, \sigma^2)$ $X_2 \sim N(\theta_2, \sigma^2)$ $\Gamma = \theta_1/\theta_2$

Pr (- z (α / 2)) \leq X_{1 1} - Γ X_{2} / σ \sqrt{1 1 + γ^{2}} \leq z (α / 2)) = 1 1 - α

$\text{Pr}(-z(\alpha/2)) \leq X_1 - \Gamma X_2 / \sigma \sqrt {1 + \gamma^2} \leq z(\alpha/2)) = 1 - \alpha$

normal-distribution mean

— francogrex
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O problema é que a razão de dois números de duas distribuições normais segue a distribuição de Cauchy e, portanto, a variação é indefinida.

@mbq - a distribuição Cauchy não apresenta problemas para intervalos de confiança, pois o CDF é a função tangente inversa. A variação não precisa ser definida para os ICs funcionarem. E a proporção de dois RVs normais com média zero é Cauchy, mas não necessariamente dois RVs normais com média diferente de zero.

— probabilityislogic

@probabilityislogic Claro, devo parar de tentar pensar nas manhãs de domingo.

Respostas:

O método de Fieller faz o que você deseja - calcula um intervalo de confiança para o quociente de duas médias, ambas assumidas como amostras das distribuições gaussianas.

A citação original é: Fieller EC: A padronização biológica da insulina. Supl. A JR Statist Soc 1940, 7: 1-64.
O artigo da Wikipedia faz um bom trabalho de resumo.
Eu criei uma calculadora online que faz o cálculo.
Aqui está uma página que resume a matemática da primeira edição da minha Bioestatística Intuitiva

— Harvey Motulsky
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É uma referência muito boa, também gosto que você tenha feito uma calculadora para ela (+1). Como esperado, porém, em sua calculadora, você afirma claramente que quando o intervalo de confiança do denominador inclui zero, não é possível calcular o IC do quociente. Eu acho que é o mesmo que acontece quando tento resolver a equação quadrática. suponha que a variação seja 1, mu1 = 0 e mu2 = 1, N = 10000. É insolúvel.

— Francogrex #

obrigado pela calculadora online Harvey, sou um biólogo típico com experiência insuficiente em estatística e sua calculadora era exatamente o que eu precisava.

— Tópico

Calculadora impressionante - exatamente o que eu estava procurando. Obrigado

— Alexander

@ harvey-motulsky o link para o apêndice não funciona mais. Fiquei me perguntando se o material deste apêndice está incluído na terceira edição da Bioestatística Intuitiva?

— Gabriel Southern

@GabrielSouthern Obrigado por apontar a podridão do link. Fixo.

— Harvey Motulsky

R tem o pacote mratioscom a função t.test.ratio.

Gemechis Dilba Djira, Mario Hasler, Daniel Gerhard e Frank Schaarschmidt (2011). mratios: Inferências para proporções de coeficientes no modelo linear geral. Pacote R versão 1.3.15. http://CRAN.R-project.org/package=mratios

Veja também http://www.r-project.org/user-2006/Slides/DilbaEtAl.pdf

— Alessandro Jacopson
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Além disso, se você quiser calcular o intervalo de confiança do Fieller que não está usando mratios(normalmente porque você não deseja um ajuste lm simples, mas por exemplo um glmer ou glmer.nb fit), você pode usar a seguinte FiellerRatioCIfunção, com model a saída do modelo, aname o nome do parâmetro do numerador, bname o nome do parâmetro do denominador. Você também pode usar diretamente a função FiellerRatioCI_basic, a, be a matriz de covariância entre a e b.

Observe que o alfa aqui é 0,05 e "codificado" nos 1,96s do código. Você pode substituí-los pelos níveis de qualquer aluno que preferir.

FiellerRatioCI <- function (x, ...) { # generic Biomass Equilibrium Level
    UseMethod("FiellerRatioCI", x)
}
FiellerRatioCI_basic <- function(a,b,V,alpha=0.05){
    theta <- a/b
    v11 <- V[1,1]
    v12 <- V[1,2]
    v22 <- V[2,2]

    z <- qnorm(1-alpha/2)
    g <- z*v22/b^2
    C <- sqrt(v11 - 2*theta*v12 + theta^2 * v22 - g*(v11-v12^2/v22))
    minS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 - z/b * C)
    maxS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 + z/b * C)
    return(c(ratio=theta,min=minS,max=maxS))
}
FiellerRatioCI.glmerMod <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[aname]))
    b<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[bname]))
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}
FiellerRatioCI.glm <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a <- coef(model)[aname]
    b <- coef(model)[bname]
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}

Exemplo (baseado no exemplo básico do glm padrão):

 counts <- c(18,17,15,20,10,20,25,13,12)
 outcome <- gl(3,1,9)
 treatment <- gl(3,3)
 glm.D93 <- glm(counts ~ outcome + treatment, family = poisson())

 FiellerRatioCI(glm.D93,"outcome2","outcome3")

ratio.outcome2            min            max 
      1.550427      -2.226870      17.880574

— cmbarbu
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