Como escolher sair da fila de ônibus ou permanecer lá usando a teoria das probabilidades?

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Estou pensando em alguma coisa há algum tempo e, como não sou muito proficiente em teoria das probabilidades, pensei que poderia ser um bom lugar para fazer essa pergunta. Isso é algo que me ocorreu nas longas filas do transporte público.

Suponha que você esteja em uma rodoviária e saiba que um ônibus (ou vários ônibus) certamente virá no futuro (durante o dia), mas você não sabe o momento exato. Você imagina uma probabilidade de que o ônibus chegue em cinco minutos. Então você espera cinco minutos. Mas o ônibus não chega. Agora a probabilidade é menor ou maior que a original que você imaginou?

A questão é que, se você estiver usando o passado para prever o futuro, talvez não fique muito otimista sobre a chegada do ônibus. Mas talvez você também possa pensar que isso realmente torna o evento mais provável: como o ônibus ainda não chegou, há menos minutos disponíveis durante o dia e, portanto, a probabilidade é maior.

Pense nos últimos cinco minutos do dia. Você esteve lá o dia inteiro e nenhum ônibus chegou. Portanto, a julgar exclusivamente pelo passado, você não pode prever que o ônibus chegará nos próximos cinco minutos. Mas como você tem certeza de que um ônibus chegará antes do fim do dia e há apenas cinco minutos para o dia terminar, você pode ter 100% de certeza de que o ônibus chegará em cinco minutos.

Então, a pergunta é: se eu vou calcular a probabilidade e abandonar a fila, qual método devo usar? É porque às vezes eu paro e de repente o ônibus chega, mas às vezes eu espero e espero e espero e o ônibus não chega. Ou talvez toda essa pergunta seja absurda e isso seja simplesmente terrivelmente aleatório?

probability

— número cinco
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Eu acho que você respondeu sua própria pergunta. Suponha que você tenha certeza de que n ônibus chegarão até o final do dia (que fica a h horas de distância), mas não tem certeza de quando nessas horas h eles chegarão, você pode usar uma distribuição de poisson com taxa igual a n / he calcular a probabilidade de um único ônibus chegar nos próximos dez minutos, digamos. À medida que você espera o ônibus eh começa a diminuir, a taxa n / h começa a aumentar e a chance de um ônibus chegar nos próximos dez minutos aumenta. Assim, a cada momento que passa, faz cada vez menos sentido sair da fila (assumindo que o ônibus terá espaço para você quando chegar).

— user3353185
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Boa resposta, muito obrigado. Eu tinha a mesma intuição, mas não sabia que se chamava distribuição de Poisson.

— numberfive

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Se você realmente modela as chegadas de ônibus como um processo de Poisson, isso não é exatamente verdade. Os processos de Poisson são "sem memória", pois modelam o evento de uma chegada de ônibus a qualquer momento como uma probabilidade constante no tempo. Ou seja, depois de ter esperado 5 minutos sem que o ônibus chegasse, o modelo preverá a mesma probabilidade para um ônibus que chegue nos próximos 10 minutos e nos 10 minutos originais.

— precisa saber é o seguinte

leekaiinthesky, você está certo de que, para uma determinada taxa, poisson é uma distribuição sem memória. No entanto, se tivermos certeza de que n ônibus chegarão até o final do dia, a taxa em si aumentará continuamente.

— user3353185

Mesmo sob essas suposições específicas, o uso da distribuição de Poisson não fornece a resposta correta. Seu argumento é baseado no aumento da taxa porque você sabe que n ônibus chegarão no total, mas na distribuição Poisson o número total de eventos não é fixo. Também nos 10 minutos em que você deseja calcular a probabilidade, a taxa já mudaria de acordo com o seu argumento. Essa é apenas uma aproximação - o que ainda seria uma boa resposta se você discutir o quão boa é a aproximação.

— Erik

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Depende de quão perto de um horário seus ônibus estão chegando.

Se eles estão em um horário regular, a cada minuto que você espera fica um minuto mais perto da chegada de um ônibus e, em média, você espera metade do intervalo entre os ônibus.
Se os ônibus chegarem em horários variados, a uma certa taxa média por hora, é mais provável que você chegue ao ponto de ônibus em um intervalo longo do que em um intervalo curto. De fato, se eles chegam "efetivamente aleatoriamente" (de acordo com um processo de Poisson), não importa quanto tempo você espere, a espera restante restante é a mesma.
Se as coisas ficarem piores que isso (mais barulhento / barulhento do que chegadas "aleatórias", talvez por causa de problemas de trânsito), é melhor você não esperar.

— Glen_b -Reinstate Monica
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Ok, vou tentar digerir isso. Obrigado. Então, se não sabemos a taxa média por hora, basicamente não podemos dizer nada?

— numberfive

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Se você está esperando 23 horas e o ônibus ainda não chegou, ignore a premissa de distribuições (cdf) sempre adicionando até 1. O ônibus simplesmente não chegará. Em geral, os europeus acreditariam em uma distribuição uniforme, uma boa aposta se você for japonês; para os americanos, o transporte público é mais visto com o olhar ictérico de um processo Poisson, sem memória, e eles dirigem seus próprios carros ... Pense nisso ... Não importa quanto tempo você espere a probabilidade do ônibus chegar a um ponto. certo tempo permanece teimosamente o mesmo. Ouvi dizer que a distribuição Weibull pode ajudar, mas não tenho certeza.

— Antoni Parellada

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Aqui está um excelente e gratuito artigo sobre o Weibull e esse tópico.

— Antoni Parellada

@Antoni Obrigado. Há uma extensão em que modelos de probabilidade (como o Poisson no item 2 da minha resposta) não funcionam realmente para esse problema; as chegadas de ônibus não são realmente um processo aleatório da maneira descrita acima. Se você pressioná-los com força suficiente, é claro que as conclusões a que eles levam não farão sentido.

— Glen_b -Reinstala Monica

@AntoniParellada e Glen_b muito obrigado por suas respostas. Eu não imaginava que havia muita coisa por trás dessa pergunta. Continuarei estudando para entender tudo o que você gentilmente escreveu. Tenha um excelente dia.

— numberfive

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ótima pergunta!

Do ponto de vista da probabilidade, a espera pode certamente aumentar as chances. Isso será verdade para as distribuições Gaussian e Uniform. No entanto, não seria verdade para distribuições exponenciais - a coisa interessante sobre distribuições exponenciais serem "sem memória" nesse sentido, pois o provavelmente para o próximo intervalo é sempre o mesmo.

No entanto, acho que uma coisa mais interessante pode ser gerar alguma função de custo. Qual é o custo do transporte alternativo (táxi, ueber)? Qual é o custo de chegar atrasado? Depois, você pode tirar o pó do livro de cálculo e minimizar a função de custo.

Para me convencer de que as chances sempre aumentam para as distribuições gaussianas, escrevi um pouco de matlab, mas tentarei criar algo mais matematicamente puro. Eu acho que por uniforme é óbvio, pois o numerador é constante (até nada) e o denominador está sempre diminuindo em direção a nada.

— MikeP
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Uma suposição do OP é que "você tem certeza de que um ônibus chegará antes do fim do dia", o que impõe algumas restrições interessantes à distribuição de probabilidade. Eu gostaria de ter tanta certeza na vida real.

— Edm

@ MikeP Obrigado pela sua resposta. Isso se aplica mesmo quando a distribuição subjacente é desconhecida? Ou talvez eu possa assumir uma certa distribuição? Sendo esse o caso, pode ser que, com o passar do tempo, eu possa mudar de opinião e dizer que essa distribuição não seja mais válida e procurar outra. A distribuição sem memória parece boa, mas talvez o que eu gostaria de saber exija uma distribuição que leve em consideração o passado.

— numberfive

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Sem problemas @NormanSimon! Nem sempre. Por exemplo, suponha que você tenha um pdf trimodal, fiz um exemplo rápido com a soma de 3 gaussianos (cada um com sigma de 3, com médias de -8, 0 e +8). Nesse caso, como você encontrou um corcunda, as probabilidades realmente caiu ligeiramente para o próximo trecho de 3 minutos.

— Mikep

Oh, querido, Mike, parece tão complicado! Mas prometo que continuarei estudando. Talvez eu esteja fazendo perguntas muito avançadas enquanto ainda sou iniciante. Mas muitos, muitos agradecimentos =)

— numberfive

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Se você deixar de lado a restrição de que o ônibus deve chegar em algum momento do dia, pode-se argumentar que quanto mais você esperar, mais tempo espera ter ainda de esperar. O motivo? Quanto mais você esperar, maior será sua crença de que o parâmetro de taxa de Poisson é pequeno. Veja a pergunta 1, aqui .

— Creosote
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De nada. Mas eu quis dizer "parâmetro de taxa é grande ", não é pequeno ...! Eu editei minha resposta de acordo.

— Creosote