Derive P (C | A + B) das duas regras de Cox

Estou trabalhando (auto-estudo) no livro de ET Jaynes, Probability Theory - The Logic of Science

Problema original

O Exercício 2.1 diz: "É possível encontrar uma fórmula geral para análoga a [a fórmula ] das regras de produto e soma. Em caso afirmativo, deduza-o; caso contrário, explique por que isso não pode ser feito. "$p(C|A+B)$$p(A+B|C)=p(A|C)+p(B|C)-p(AB|C)$

Givens

As regras com as quais tenho que trabalhar são:

$p(AB | C) = p(A|C)p(B|AC) = p(B|C)p(A|BC)$ e$p(A|B)+p(\bar{A}|B)=1$

Onde também podemos usar identidades lógicas para manipular proposições. Por exemplo:$A+B=\overline{\bar{A}\bar{B}}$

Suposição de solvabilidade

Acredito que deve ser possível porque ele não introduz outras regras mais tarde e ter uma simples combinação lógica de proposições que não fosse facilmente expressável derrotaria a tese central de Jaynes. No entanto, não consegui derivar a regra.

Minha tentativa

Para evitar confusões devido ao uso dos mesmos nomes de variáveis ​​que os givens, estou resolvendo o problema como:

Derivar uma fórmula para $p(X|Y+Z)$

Introduzindo uma tautologia para condicionamento

Minha melhor tentativa de resolvê-lo até agora foi introduzir uma proposição que é sempre verdadeira. Assim, posso reescrever como (já que a verdade é a identidade multiplicativa).$W$$Y+Z$$(Y+Z)W$

Então, eu posso escrever:

$p(X|Y+Z)=p(X|(Y+Z)W)$

Então, reescrevendo um dos dados como regra de Bayes: , eu posso escrever:$p(A|BC)=\frac{p(B|AC)p(A|C)}{p(B|C)}$

$p(X|(Y+Z)W)=\frac{p(Y+Z|XW)p(X|W)}{p(Y+Z|W)}=\frac{p(Y+Z|X)p(X|W)}{p(Y+Z|W)}$

Por que isso não funciona

O termo é fácil de lidar. (Sua expansão é referida na definição do problema.)$p(Y+Z|X)$

No entanto, eu não sei o que fazer com e . Não há transformação lógica que eu possa aplicar para me livrar do , nem pensar em nenhuma maneira de aplicar as regras fornecidas para chegar lá.$p(X|W)$$p(Y+Z|W)$$W$

Outros lugares que eu olhei

Eu fiz uma pesquisa no Google, que apareceu nesta página do fórum . Mas o autor faz a mesma coisa que tentei sem ver a dificuldade que tenho com o condicionamento resultante na tautologia introduzida.

Eu também procurei em stats.stackexchange.com por "Jaynes" e também por "Exercise 2.1" sem encontrar resultados úteis.

Não sei ao certo o que Jaynes considera análogo a mas os alunos usam alegremente um ou mais dos seguintes trabalhos de casa e exames: Você acha que alguma delas está correta?$P(A\cup B \mid C) = P(A \mid C) + P(B \mid C) - P(AB \mid C)$

Nota: Alterando meu comentário (agora excluído) em um adendo à minha resposta, as regras permitem as seguintes manipulações: O primeiro introduz condicionado em um subconjunto de mas não elimina condicionado em . A segunda também não elimina condicionado em . Portanto, qualquer manipulação de sempre incluirá termos da forma , e não poderá ser expressa em termos de , , , etc. sem incluir probabilidades condicionadas$P(AB \mid C) = P(A\mid C)P(B \mid AC); P(A \mid C) = 1 - P(A^c \mid C).$$C$$C$$C$$P(A\mid B \cup C)$$P(X\mid B \cup C)$$P(A\mid B \cup C)$$P(A \mid B)$$P(A \mid C)$$P(A \mid BC)$$B \cup C$ também.

Para problemas como esse, às vezes é útil pensar menos sobre as fórmulas e desenhar uma figura (nesse caso, um diagrama de Venn).

Agora olhe para a figura e tente visualizar o que representa. Se você conseguir tirá-lo da foto, verá que existem várias maneiras válidas de escrevê-lo (duas maneiras me lembram do bastão). Se você ainda estiver preso, tente voltar à prova usual da regra geral de adição geral para obter dicas.$P(C | A \cup B)$

Lembre-se: uma probabilidade condicional concentra toda a sua massa de probabilidade no evento de condicionamento (neste caso, ). A idéia é focar nos locais onde cruza esse evento.$A \cup B$$C$

A propósito, o código R para a figura é

library(venneuler)
vd <- venneuler(c(A=0.2, B=0.2, C=0.2, "A&B"=0.04, "A&C"=0.04, "B&C"=0.04 ,"A&B&C"=0.008))
plot(vd)

O Teorema de Bayes fornece Agora, usando as regras de soma condicional e incondicional, temos Obviamente, a questão é se essa fórmula seria "suficientemente análoga" para Jaynes.

Você não pode se livrar da tautologia. Eu acho que você deve apenas adicionar a tautologia e aplicar a regra do produto e, em seguida, a regra da soma e você obtém:

onde todas as probabilidades são expressas como posteriores à tautologia. Eu acho que esse é o equivalente mais semelhante à regra da soma que você pode obter para esse problema, então essa seria a solução.

Observe que se você adicionar a condição (ou seja, e são mutuamente exclusivos), obtém a mesma expressão que precisa provar no problema 2.2, que indicaria que esta solução provavelmente está correta (por Indução bayesiana;).$p(AB|W)=0$$A$$B$

Seguindo apenas as regras de Cox, tomando como no livro de Jaynes, temos a solução do MastermindX:$W=X$

A solução para Ex. 2.1 segue a intenção do Capítulo 2 na regra do produto, de que "primeiro buscamos uma regra consistente que relacione a plausibilidade do produto lógico à plausibilidade de e separadamente" (página 24). Além disso, para as proposições mutuamente exclusivas e , isso é igual à Eq. (2,67) no Ex. 2.2, se considerarmos , ; também indicado pelo MastermindX. Observe que o próprio Jaynes não se livra das informações adicionais na Eq. (2,67), então acredito que esta é a solução esperada para ambos os exercícios.$AB$$A$$B$$A$$B$$\{A_{1} = A$$A_{2} = B\}$$X$