Convenções de notação para variáveis ​​aleatórias e suas distribuições

Fico confuso com as notações apropriadas de significados, bem como com os significados de algumas notações relacionadas a variáveis ​​aleatórias e suas distribuições. Abaixo, vou listar as coisas que considero verdadeiras, bem como as que não entendo, e eu adoraria sugestões / correções. Marquei cada ponto / pergunta com um número para facilitar a referência. Se não for apropriado listar itens em uma única pergunta como essa, entre em contato. Eu pensei que seria bom, pois todos eles são curtos.

1. Uma variável aleatória é simbolizada por uma letra maiúscula, por exemplo $X$ .

2. O que significa uma operação em uma variável aleatória? (por exemplo, como você interpreta $X^2$ em palavras?).

3. Um sorteio específico de uma variável aleatória é anotado pela letra minúscula (por exemplo, $x$ ) ou pela letra minúscula com um índice subscrito (por exemplo, $x_1$ ) ou por um número em maiúscula com um número (por exemplo, $X_1$ ).

4. A variável aleatória que é a estatística de ordem $kth$ de $n$ extraída de uma variável aleatória $X$ é anotada como $X_{kn}$ .

5. Existe uma maneira abreviada de escrever "X é a variável aleatória distribuída por F (x) (ou" cdf F (x) "ou" B (a, b) "ou qualquer maneira de caracterizar uma distribuição)"?

6. Posso escrever $\mathbb{E}F(x)$ para significar a expectativa da variável distribuída de acordo com $F(x)$ ?

7. Se eu executar uma operação em CDF de uma variável X, por exemplo, $F_{new}(x) = F_{old}(x)^2$ para obter a CDF do máximo de 2 baseia-se em $X$ , pode eu Notate que em termos de $X$ alguma forma?

8. É a maneira apropriada de escrever sucintamente F 2 ( x ) ou F ( x ) 2 ?$(F(x))^2$$F^2(x)$$F(x)^2$

9. Existe alguma diferença notacional entre uma variável discreta e uma variável contínua?

1. Eu gosto de dizer: uma variável aleatória atribui um número a cada resultado possível de um "experimento" aleatório, onde um experimento aleatório é um processo bem definido com um resultado incerto.

2. é outra variável aleatória; sempre que X = x ,$X^2$$X = x$ .$X^2 = x^2$

3. Geralmente usaria letras minúsculas como realização de variáveis ​​aleatórias. Eu não usaria o dessa maneira; seria outra variável aleatória.$X_1$

4. Eu não falaria sobre draws de uma variável aleatória. Eu falaria sobre n draws de uma distribuição, que daria n variáveis ​​aleatórias independentes e identicamente distribuídas, X 1 , ..., X n . Geralmente, eu escreveria a estatística de ordem k não como X k n, mas como X ( k ) , e observaria que é uma variável aleatória.$n$$n$$n$$X_1$$X_n$$k$$X_{kn}$$X_{(k)}$

5. Você geralmente escrever dizer X é uma variável aleatória com distribuição F .$X \sim F$$X$$F$

6. Eu nunca vi essa notação pela média de uma distribuição. Eu diria , onde X ~ F .$\mathbb{E} X$$X \sim F$

7. Eu apenas escrever , onde X i ~ iid  F .$Y = \max(X_1, X_2)$$X_i \sim \text{iid } F$

8. Acho que qualquer um pode ser entendido, mas provavelmente é mais claro e, embora seja mais complicado de digitar, não ocupa muito mais espaço.$[F(x)]^2$

9. Geralmente, não há uma diferença de notação entre variáveis ​​discretas e contínuas, exceto que você geralmente não escolheria como uma variável aleatória contínua.$N$