Provar uma sequência diminui (suportado pela plotagem de um grande número de pontos)

Muitas das perguntas que eu postei no SE no mês passado têm o objetivo de me ajudar a resolver esse problema específico. Todas as perguntas foram respondidas, mas ainda não consigo encontrar uma solução. Então, imaginei que deveria apenas perguntar o problema que estou tentando resolver diretamente.

Seja , onde , , (número inteiro) e todo seja um cdf acima . $X_n \sim F_n$ $F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$ $F_0 = x$ $c\geq 2$ $F_n$ $(0,1)$

Quero provar que diminui com para todos os (ou mesmo, para qualquer específico )! Posso mostrar que converge para uma massa de Dirac na solução única para Para , . . Ao olhar para um gráfico de cdfs para aumentar 's para o mesmo , todos os cdfs cruzam em . O valor de diminui para valores de menores que e aumenta para valores de maiores que $\mathbb{E}X_n$ $n$ $c$ $c$ $F_n$ $x_c = (1-(1-x)^c)^c)$ $c=2$ $x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$ $n$ $c$ $x_n$ $F(x)$ $x$ $x_n$ $x$ $x_n$ (à medida que aumenta) convergindo para uma linha vertical em . $n$ $x_n$

Abaixo está um gráfico de para a para a . É claro que é um enredo discreto, mas tenho as linhas unidas para facilitar a visualização. Para gerar esse gráfico, usei o NIntegrate no Mathematica, embora precisasse fazê-lo em , pois, por alguma razão, o Mathematica não conseguiu gerar respostas com valores altos de para a função original. Os dois devem ser equivalentes, conforme o teorema de Young, . No meu caso, , . $\mathbb{E}X_n$ $n = 1$ $40$ $c = 2$ $7$ $1-F^{-1}_n$ $n$ $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ $F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$ $F^{-1}_n = x$

insira a descrição da imagem aqui

Como você pode ver, o se move muito a uma distância de um minuto do ponto fixo . À medida que aumenta, o ponto fixo diminui (eventualmente irá para 0). $EX_n$ $x_c$ $c$

Portanto, certamente parece verdade que diminui com para todos . Mas não posso provar isso. Alguém pode me ajudar? (novamente, eu ficaria um pouco feliz com apenas um ). E, se você não puder, mas tiver uma idéia de por que esse problema específico pode ser insolúvel, compartilhe também essa visão. $EX_n$ $n$ $c$ $c$

— OctaviaQ
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Você considerou reescrever para que

? Uma prova indutiva ou uma contradição pode ser facilmente acessível.

Z n = E X_{n} - E X_{n - 1}

$Zn = EX_n - EX_{n-1}$

— Iterator

@ Iterator: Eu tentei (muito), mas não obtive sucesso.

— OctaviaQ 15/10

Sim. +1 e excluiu meu comentário anterior.

— finnw

@Jand: infelizmente terei que retirar minha reivindicação de prova no momento. Encontrei um buraco que ainda não consegui consertar. Desculpas. Eu deveria ter sido mais cuidadoso antes de postar algo. Eu verifiquei várias vezes, mas não encontrei o problema até a última vez em que o atravessei.

— cardeal

@Jand: Você tem um muito semelhante (mas ligeiramente diferente) pergunta sobre math.SE . Você pode esclarecer se está realmente interessado nos dois ou apenas em um deles e por quê?

— cardeal

Isso foi respondido no MO por Pietro Majer aqui .

— OctaviaQ
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