Jogo de cartas: Se eu jogo quatro cartas aleatoriamente e você compra seis, qual a probabilidade de que minha carta mais alta seja maior que a sua mais alta?

Como indicado no título, digamos que se eu comprar aleatoriamente 4 cartas e você tirar 6 do mesmo baralho, qual é a probabilidade de que minha carta mais alta ultrapasse a sua?

Como isso mudará se utilizarmos diferentes decks?

Obrigado!

probability maximum

— Wudanao
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Isso é um trabalho em casa?

— Aksakal

Esta pergunta simples tem uma resposta complicada. As complicações são devidas a dois fatores:

Os cartões são sorteados sem substituição. (Cada sorteio, portanto, altera o conteúdo do baralho que está disponível para sorteios subsequentes.)
Um baralho geralmente tem várias cartas de cada valor, fazendo um empate para a carta mais alta possível.

Como as complicações são inevitáveis, vamos abordar uma generalização razoavelmente ampla desse problema e depois examinar casos especiais. Na generalização, um "baralho" consiste em um número finito de cartas. Os cartões têm "valores" distintos que podem ser classificados do mais baixo ao mais alto. Seja dos valores classificados (com o mais baixo e o mais alto). Um jogador compra cartas do baralho e um segundo jogador compra $m$ $n_i \ge 1$ $i$ $i=1$ $i=m$ $a\ge 0$ $b\ge 1$ cartões. Qual é a chance de a carta mais alta na mão do primeiro jogador ter um valor estritamente maior do que a carta mais alta na mão do segundo jogador? Que este evento seja chamado : uma "vitória" para o primeiro jogador. $W$

Uma maneira de resolver isto começa por notar que o procedimento é equivalente ao desenho cartas do baralho, tendo o primeiro fora daqueles a ser cartões do primeiro jogador, e o restante para ser cartões do segundo jogador. Entre essas cartas, seja o valor mais alto e seja o número de cartas desse valor. O primeiro jogador ganha apenas quando ela possui todos os desses cartões. O número de maneiras em que essas cartas particulares podem ser encontrados entre cartões é $a+b$ $a$ $b$ $j$ $k \ge 1$ $k$ $a$ , enquanto o número de maneiras de posicionar essascartas entre todos osque foram sorteados é $\binom{a}{k}$ $k$ $a+b$ . $\binom{a+b}{k}$

Agora, a chance de ser o valor mais alto e existirem é a chance de selecionar dentre cartões de valor e selecionar o restante dentre valores. Porque eles são $j$ $k$ $k$ $n_j$ $j$ $a+b-k$ $n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$ $\binom{N_m}{a+b}$ empates equiprobáveis das cartas , a resposta é $a+b$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{N_{m}}{a + b})} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n_{j}} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n_{j}}{k}) (\binom{N_{j - 1}}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$

(Nesta expressão, $N_0=0$ e qualquer coeficiente binomial cujo valor superior seja menor que seu valor inferior ou cujo valor inferior seja negativo são considerados zero.) É um cálculo relativamente eficiente, levando um tempo proporcional ao número de cartas no baralho. Por envolver exclusivamente coeficientes binomiais, é passível de aproximações assintóticas para grandes valores de e . $a$ $b$

Em alguns casos, você pode querer modificar a definição de "vitória". Isso é feito prontamente: trocando os valores de e $a$ , a mesma fórmula calcula a probabilidade de que o segundo jogador ganha definitivas. A diferença entre e a soma dessas duas chances é a chance de empate. Você pode atribuir a chance de empate aos jogadores na proporção que desejar. $b$ $1$

Em muitos pavimentos convencionais de cartas de jogar e para . Consideremos, portanto, qualquer baralho em que todos os tenham o mesmo valor, digamos . Nesse caso, $m=13$ $n_i=4$ $i=1, 2, \ldots, m$ $n_i$ $n$ e a fórmula anterior simplifica levemente a $N_{j-1} = (j-1)n$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{m n}{a + b})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n}{k}) \sum_{j = 1}^{m} (\binom{(j - 1) n}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$

Por exemplo, com e em uma plataforma comum de 52 cartas de 13 graus, , e , $m=13$ $n=4$ $a=4$ $b=6$ $\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$ . Uma simulação de 100.000 jogadas deste jogo produziu uma estimativa de , que é precisa para quase três números significativos e não significativamente diferente do que a fórmula afirma. $0.3159$

O seguinte Rcódigo é facilmente modificado para estimar para qualquer plataforma: simplesmente mudança , e . Foi programado para executar apenas 10.000 jogadas, o que deve levar menos de um segundo para ser executado e é bom para dois números significativos na estimativa. $\Pr(W)$ abdeck

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

A saída nesta instância é

Pr estimado (a ganha) = 0,3132 +/- 0,00464

— whuber
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Ótima resposta! Posso perguntar o que você acha que se cada jogador compra de um baralho diferente - esta mudança a resposta?

— Wudanao

Sim, isso mudará a resposta, porque o que uma pessoa desenha será independente do que o outro jogador desenha. De certa forma, essa é uma pergunta mais fácil, porque a resposta é um cálculo direto da chance de uma variável aleatória exceder o valor de outra variável independente dela.

— whuber

\frac{a}{a + b}

$\frac{a}{a+b}$

a + b

$a+b$

a

$a$

a + b

$a+b$

n_{i} = 1

$n_i=1$

k

$k$

(\binom{a}{k}) / (\binom{a + b}{k}) = (\binom{a}{1}) / (\binom{a + b}{1}) = a / (a + b)

$\binom{a}{k}/\binom{a+b}{k} = \binom{a}{1}/\binom{a+b}{1} = a/(a+b)$ factors out, showing how the general formula reduces to this simple one.

— whuber

@WernerCD True, but that effect has been explained: if the suits have a ranking, then there are no ties, and so the formula reduces to what limari's comment describes.

— Brilliand