OLS em termos de média e tamanho da amostra

Dado um modelo:

$$y = \beta_0 + \beta_1 \cdot f + u$$

Onde é fictício se fêmea e caso contrário, y é a altura em cm. O tamanho da amostra é no total. Além disso e . Calcule as estimativas dos parâmetros.$f$$=1$$0$$n_{female}=n_{male}=100 \rightarrow 200$$\bar{y}_{male} = 175$$\bar{y}_{female}=165$

Minha tentativa:

Usando a fórmula bem conhecida:

$$\boldsymbol{\hat{\beta}} = (\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$$ recebo: $$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \\ \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 170 \cdot 200 \\ 165 \cdot 200 \end{bmatrix}$$

Primeiro, os elementos em $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ , uma vez que $X$ é apenas um monte de pessoas, há 100 mulheres na amostra e 200 homens e mulheres no total. Para $\boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$ , o primeiro elemento é a "grande média" de 170 e o segundo é a média da amostra apenas da altura para mulheres. Ambos são redimensionados em 200, pois eu não "reduzi a escala" $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ .

Está correto? Eu pergunto, porque a solução (ao multiplicar) resulta em alguns (muito) números ímpares.

A abordagem está correta, mas há um pequeno erro numérico: existem apenas mulheres, não . As alturas médias de machos e fêmeas podem ser convertidas em somas via$100$$200$

$$\text{Sum of male heights} = 100 \times 175$$

e

$$\text{Sum of female heights} = 100 \times 165.$$

Portanto, a soma de todas as alturas é

$$\text{Sum of all heights} = 100 \times 175 + 100\times 165 = 200 \times 170,$$

conforme indicado na pergunta. Consequentemente, as equações normais são

$$\pmatrix{200 & 100 \\ 100 & 100}\pmatrix{\hat\beta_0 \\ \hat\beta_1} = \pmatrix{200\cdot170 \\ 100 \cdot165}$$

( não no lado direito), com solução$165\cdot 200$

$$(\hat\beta_0, \hat\beta_1) = (175, -10).$$

Estou bastante confuso. O que quer dizer? Estes são resíduos? Se sim, então$u$

$\mathbf{X'X}$ =$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \end{bmatrix}$

Desde a

$\mathbf{X} = \frac{\partial{y}}{\partial\beta} = \left[\begin{array}{cccc|cccc} \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_1} \\ \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_2} \\ \end{array}\right]^T$

=

$\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 1 & ... & 1 \\ \end{array}\right]^T$

Alguns pensamentos:

Dada a sua equação IMHO deve ser 175 e = -10. Então, para a parte masculina e feminina, você obtém:$\beta_1$$\beta_2$

$f_m = 175 (+) -10 \times 0 + u = 175 + u$

$f_f = 175 (+) -10 \times 1 + u = 165 + u$

Desde que você pode usar

$\mathbf{\beta} = \left(X'X\right)^{-1}X^{T}\mathbf{y}$

para resolver usando o Pseudoinverso Moore-Penrose .$\beta$

$\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\beta=\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\begin{bmatrix} 175 \\ -10 \end{bmatrix}=\mathbf{y}$

Agora contém:$\mathbf{y}$

$\mathbf{y} \approx \begin{bmatrix} 165_{f_1} & 165_{f_2} & ... 165_{f_{100}} & 175_{m_1} & 175_{m_2} & ... 175_{m_{100}} \end{bmatrix}^T$

Espero que ajude!