Qual é a maneira correta de calcular a estimativa da densidade do kernel a partir de coordenadas geográficas?

Eu tenho que calcular a estimativa de densidade de kernel 2d (kde) a partir de uma lista de coordenadas de latitude e longitude. Mas um grau em latitude não é a mesma distância que um grau em longitude, isso significa que os núcleos individuais seriam ovais, especialmente quanto mais longe o ponto estiver do equador.

No meu caso, todos os pontos estão próximos o suficiente um do outro, e transformá-los em terra plana não deve causar muitos problemas. No entanto, ainda estou curioso sobre como isso deve ser tratado adequadamente, caso isso não seja verdade.

— Aaron de Windt
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Como primeiro palpite, eu assumiria que você substituísse uma métrica de distância esférica apropriada por uma abordagem padrão do kernel.

— Sycorax diz Restabelecer Monica

Quem pode dizer que ter núcleos ovais está incorreto?

— gung - Restabelece Monica

@gung Imagine o que aconteceria se você colocasse um ponto próximo o suficiente de um poste. Seria espremido ao longo do eixo longitudinal. E como você lidaria com um kernel que realmente cobre um dos pólos?

— Aaron de Windt

Você teria um pedaço sobre o poste que é igualmente alto em todas as longitudes. Por que isso está incorreto?

— gung - Restabelece Monica

@gung Porque, por exemplo, se eu escolher um diâmetro de núcleo de 1 grau, não estaria acima de todas as longitudes. Seria acima de 1 grau longitudinal, que pode estar a apenas alguns metros se o ponto estiver próximo o suficiente do poste, em comparação com os ~ 110 km que 1 grau latitudinal é.

— Aaron de Windt

Você pode considerar o uso de um kernel especialmente adequado para a esfera, como uma densidade de von Mises-Fisher

f (x; κ, μ) \propto \exp (κ μ^{'} x)

$f(\mathbf{x};\kappa,\mu) \propto \exp(\kappa \mu^\prime \mathbf{x})$

onde e são locais na esfera unitária expressos em coordenadas cartesianas 3D. $\mu$ $\mathbf{x}$

O analógico da largura de banda é o parâmetro . A contribuição para um local de um ponto de entrada no local na esfera, tendo peso , é portanto $\kappa$ $x$ $\mu$ $\omega(\mu)$

ω (μ) f (x; κ, μ) .

$\omega(\mu) f(\mathbf{x};\kappa,\mu).$

Para cada , some essas contribuições em todos os pontos de entrada . $\mathbf{x}$ $\mu_i$

Para ilustrar, aqui está o Rcódigo para calcular a densidade de von Mises-Fisher, gerar alguns locais aleatórios e pesos (12 deles no código) e exibir um mapa da densidade resultante do kernel para um determinado valor de (igual a no código). $\mu_i$ $\omega(\mu_i)$ $\kappa$ $6$

Os pontos são mostrados como pontos pretos dimensionados para ter áreas proporcionais aos seus pesos . A contribuição do ponto grande próximo é evidente nas latitudes do norte. A mancha amarela-branca brilhante ao seu redor seria aproximadamente circular quando mostrada em uma projeção adequada, como uma Ortografia (terra do espaço). $\mu_i$ $\omega(\mu_i)$ $(100,60)$

#
# von Mises-Fisher density.
# mu is the location and x the point of evaluation, *each in lon-lat* coordinates.
# Optionally, x is a two-column array.
#
dvonMises <- function(x, mu, kappa, inDegrees=TRUE) {
  lambda <- ifelse(inDegrees, pi/180, 1)
  SphereToCartesian <- function(x) {
    x <- matrix(x, ncol=2)
    t(apply(x, 1, function(y) c(cos(y[2])*c(cos(y[1]), sin(y[1])), sin(y[2]))))
  }
  x <- SphereToCartesian(x * lambda)
  mu <- matrix(SphereToCartesian(mu * lambda), ncol=1)

  c.kappa <- kappa / (2*pi*(exp(kappa) - exp(-kappa)))
  c.kappa * exp(kappa * x %*% mu)
}
#
# Define a grid on which to compute the kernel density estimate.
#
x.coord <- seq(-180, 180, by=2)
y.coord <- seq(-90, 90, by=1)
x <- as.matrix(expand.grid(lon=x.coord, lat=y.coord))
#
# Give the locations.
#
n <- 12
set.seed(17)
mu <- cbind(runif(n, -180, 180), asin(runif(n, -1, 1))*180/pi)
#
# Weight them.
#
weights <- rexp(n)
#
# Compute the kernel density.
#
kappa <- 6
z <- numeric(nrow(x))
for (i in 1:nrow(mu)) {
  z <- z + weights[i] * dvonMises(x, mu[i, ], kappa)
}
z <- matrix(z, nrow=length(x.coord))
#
# Plot the result.
#
image(x.coord, y.coord, z, xlab="Longitude", ylab="Latitude")
points(mu[, 1], mu[, 2], pch=16, cex=sqrt(weights))

— whuber
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