Considere uma distribuição duas vezes diferenciável e simétrica . Agora considere uma segunda distribuição diferenciável rigth enviesada no sentido de que:$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

onde é a ordem convexa de van Zwet [0] para que seja equivalente a:$\preceq_c$$(1)$

$$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$$

Considere agora uma terceira distribuição diferenciável duas vezes satisfazendo:$\mathcal{F}_Y$

$$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

Minha pergunta é: podemos sempre encontrar uma distribuição e uma distribuição simétrica para reescrever qualquer (todos os três definidos acima) em termos de uma composição de e como:$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Y$

$$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$$

ou não?

Editar:

Por exemplo, se é o Weibull com o parâmetro de forma 3.602349 (para que seja simétrico) e é a distribuição Weibull com o parâmetro de forma 3/2 (para que seja inclinado à direita), eu recebo$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$$

configurando como a distribuição Weibull com o parâmetro de forma 2.324553. Observe que todas as três distribuições atendem:$\mathcal{F}_Y$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$$ conforme necessário. Gostaria de saber se isso é verdade em geral (nas condições declaradas).

• [0] van Zwet, WR (1979). Média, mediana, modo II (1979). Statistica Neerlandica. Volume 33, Edição 1, páginas 1--5.

Não!

Um contra-exemplo simples é fornecido pela distribuição Tukey (o caso especial para da distribuição Tukey e ).$g$$h=0$$g$$h$

Por exemplo, seja a Tukey com o parâmetro e seja a Tukey com o parâmetro e uma distribuição da Tukey para a qual . Como , essas três distribuições satisfazem:$\mathcal{F}_X$$g$$g_X=0$$\mathcal{F}_Z$$g$$g_Z>0$$\mathcal{F}_Y$$g$$g_Y\leq g_Z$$h=0$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

(o primeiro vem da definição do Tukey que é simétrico se , o próximo de [0], teorema 2.1 (i)).$g$$g=0$

Por exemplo, para , temos o seguinte:$g_Z=0.5$

$$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$$

(por algum motivo, o mínimo parece sempre estar próximo de ).$g_Y\approx g_Z/2$

• [0] Propriedades HL MacGillivray Shape das famílias g-e-h e Johnson. Comm. Statist. - Theory Methods, 21 (5) (1992), pp. 1233–1250

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Editar:

No caso do Weibull, a alegação é verdadeira:

Seja a distribuição Weibull com o parâmetro de forma (o parâmetro de escala não afeta a ordem convexa, para que possamos configurá-lo como 1 sem perda de generalidade). Da mesma forma , e e .$\mathcal{F}_Z$$w_Z$$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$w_Y$$w_X$

Primeira nota que quaisquer três distribuições Weibull sempre podem ser ordenadas no sentido de [0].

Em seguida, observe que:

$$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$$

Agora, para o Weibull:

$$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$$

de modo a

$$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$$

Desde a

$$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$$

Portanto, a reivindicação sempre pode ser atendida configurando .$w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

• [0] van Zwet, WR (1979). Média, mediana, modo II (1979). Statistica Neerlandica. Volume 33, Edição 1, páginas 1--5.
• [1] Groeneveld, RA (1985). Skewness para a família weibull. Statistica Neerlandica. Volume 40, Edição 3, páginas 135–140.