Qual é a distribuição para o máximo (mínimo) de duas variáveis ​​aleatórias normais independentes?

Especificamente, suponha que e sejam variáveis ​​aleatórias normais (independentes, mas não necessariamente distribuídas de forma idêntica). Dado qualquer nomeadamente , existe uma fórmula agradável para ou conceitos semelhantes? Sabemos que \ max (X, Y) é normalmente distribuído, talvez uma fórmula para média e desvio padrão em termos daqueles para X e Y ? Eu verifiquei os lugares habituais (wikipedia, google), mas não encontrei nada.$X$$Y$$a$$P(\max(X,Y)\leq x)$$\max(X,Y)$$X$$Y$

O máximo de dois normais não idênticos pode ser expresso como uma distribuição normal de distorção de Azzalini. Ver, por exemplo, um documento / apresentação de trabalho de 2007 de Balakrishnan

Um olhar distorcido das estatísticas de ordens bivariadas e multivariadas
Prof. N. Balakrishnan
Working paper / presentation (2007)

Um artigo recente de ( Nadarajah e Kotz - visível aqui ) fornece algumas propriedades de max :$(X,Y)$

Nadarajah, S. e Kotz, S. (2008), "Distribuição exata das máximas / mínimas de duas variáveis ​​aleatórias gaussianas", TRANSAÇÕES IEEE EM SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO DE ESCALA MUITO GRANDE (VLSI), VOL. 16, NO. 2, fevereiro de 2008

Para trabalhos anteriores, consulte:

AP Basu e JK Ghosh, "Identificabilidade das distribuições multinormais e outras sob o modelo de riscos concorrentes", J. Multivariate Anal., Vol. 8, pp. 413–429, 1978

HN Nagaraja e NR Mohan, "Sobre a independência da distribuição da vida do sistema e a causa da falha", Scandinavian Actuarial J., pp. 188-198, 1982.

YL Tong, a distribuição normal multivariada. Nova York: Springer-Verlag, 1990.

Pode-se também usar um sistema de álgebra computacional para automatizar o cálculo. Por exemplo, dado com pdf e com pdf :$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$f(x)$$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$g(y)$

... o pdf de $Z = max(X,Y)$ é:

onde estou usando a Maximumfunção do pacote mathStatica do Mathematica e Erfdenota a função de erro.

Surpreende-me que nas respostas anteriores a propriedade mais interessante não seja mencionada: a distribuição de probabilidade cumulativa para o máximo é o produto das respectivas distribuições de probabilidade cumulativa.