Se

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Seja e eventos independentes, e e sejam eventos independentes. Como mostro que e são eventos independentes? $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $B\cup C$

De acordo com a definição de eventos independentes, e são independentes se e somente se $A$ $B\cup C$

P (A \cap (B \cup C)) = P (A) P (B \cup C) .

$P(A\cap (B\cup C)) = P(A)P(B\cup C).$

Como e e e são independentes, eu sei que $A$ $B$ $A$ $C$

P (A \cap B) = P (A) P (B) and P (A \cap C) = P (A) P (C) .

$P(A\cap B) = P(A)P(B) \quad\text{and}\quad P(A\cap C)=P(A)P(C).$

No entanto, não tenho ideia de como resolver isso. Tentei aplicar as regras de probabilidade que conheço, mas não cheguei a lugar algum.

probability self-study independence

— jenn
fonte

Por favor, adicione a [self-study]tag e leia seu wiki .

— gung - Restabelece Monica

3

Acho um pouco decepcionante que as pessoas tenham resolvido o problema aqui. Independentemente de a tag "auto-estudo" estar lá, todos sabemos como é responder a mim e como é ser levado a uma. O último é quase sempre mais significativo.

— Jlimahaverford # 19/15

Votei você de novo, agora estou até me perguntando se falta alguma coisa para a minha solução e a da jtobin. Como nós dois assumimos que A, B e C são mutuamente independentes, o que pode não estar correto.

— Deep North

Hummm. Este é um bom ponto. Eu mesmo vou resolver isso sozinho.

— Jlimahaverford # 19/15

3

O que é especialmente decepcionante é que esta pergunta recebeu três respostas incorretas, embora duas ainda possam ser modificadas. Considere dois lançamentos independentes de uma moeda justa e sejam

e

os eventos que o primeiro e o segundo lançamentos resultaram em cara e coroa, respectivamente, e

o evento em que exatamente um sorteio resultou em Chefes. Assim,

B = {H T, H H}

$B= \{HT,HH\}$

C = {H T, T T}

$C=\{HT,TT\}$

A = {H T, T H}

$A=\{HT,TH\}$

,

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}

$P(A)=P(B)=P(C)=\frac 12$

, de modo que

são independentes como são

. Mas

P (A \cap B) = P (A \cap C) = \frac{1}{4}

$P(A\cap B)=P(A\cap C)=\frac 14$

A, B

$A,B$

A, C

$A,C$

, ou seja,

e

são dependentes.

P (B \cup C) = \frac{3}{4}, P (A \cap (B \cup C) = \frac{1}{4} \neq P (A) P (B \cup C)

$P(B\cup C)=\frac 34,P(A\cap(B\cup C)=\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

— precisa saber é o seguinte

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Seja e eventos independentes, e e sejam eventos independentes. Como mostro que e são eventos independentes? $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $B\cup C$

Você não pode mostrar este resultado porque ele não é válido para todos os apreciam essas propriedades. Considere o seguinte contra-exemplo. $A, B, C$

Considere dois lançamentos independentes de uma moeda justa. Deixe e ser os eventos que as primeira e segunda lançamentos resultaram em cabeças e caudas respectivamente. Seja o evento em que exatamente um sorteio resultou em Chefes. $B=\{HT,HH\}$ $C=\{HT,TT\}$ $A=\{HT,TH\}$

Então, enquanto $P(A)=P(B)=P(C) = \frac 12$ e assimesão eventos independentes são comoe eventos independentes. De fato,etambém são eventos independentes (ou seja,,esãoeventos independentes empares). No entanto, $P(A\cap B) = P(A\cap C) = \frac 14$ $A$ $B$ $A$ $C$ $B$ $C$ $A$ $B$ $C$ e, portanto,esãoeventosdependentes.

P (A) = \frac{1}{2} and P (B \cup C) = \frac{3}{4} while P (A \cap (B \cup C)) = \frac{1}{4} \neq P (A) P (B \cup C)

$P(A) = \frac 12 ~ \text{and}~ P(B\cup C)=\frac 34 ~ \text{while}~ P(A\cap(B\cup C)) =\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

Afastando nosso contra-exemplo, vamos considerar quais condições são necessárias para criar eventos independentes e As outras respostas já fizeram o trabalho para nós. Temos que $A$ $B\cup C$ e entãoé igual a(conforme necessário para provar quee

\begin{aligned} P (A \cap (B \cup C)) & = P ((A \cap B) \cup (A \cap C)) \\ = P (A \cap B) + P (A \cap C) - P (((A \cap B) \cap (A \cap C)) \\ = P (A) P (B) + P (A) P (C) - P (A \cap B \cap C) \\ = P (A) (P (B) + P (C) - P (B \cap C)) + (P (A) P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)) \\ = P (A) P (B \cup C) + [P (A) P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)] \end{aligned}

$\begin{align} P(A\cap (B\cup C)) &= P((A\cap B) \cup (A\cap C))\\ &= P(A\cap B) + P(A\cap C) - P(((A\cap B) \cap (A\cap C))\\ &= P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A\cap B \cap C)\\ &= P(A)\left(P(B) + P(C) - P(B\cap C)\right) + \left(P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right)\\ &= P(A)P(B\cup C) + \left[P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right] \end{align}$

P (A \cap (B \cup C))

$P(A\cap (B\cup C))$

P (A) P (B \cup C)

$P(A)P(B \cup C)$

A

$A$

são eventos independentes) exatamente quando

é igual a

, ou seja, quando

e

são independentes eventos.

B \cup C

$B\cup C$

P (A) P (B \cap C)

$P(A)P(B\cap C)$

P (A \cap B \cap C) = P (A \cap (B \cap C))

$P(A\cap B \cap C) = P(A\cap (B\cap C))$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

e são eventos independentes sempre que e são eventos independentes. $A$ $B\cup C$ $A$ $B\cap C$

Observe que se e são independentes ou não, não é relevante para a questão em questão: no contra-exemplo acima, e eram eventos independentes e, no entanto, e não foram eventos independentes. Obviamente, como observado por Deep North, se , e são eventos mutuamente independentes (o que exige não apenas independência de e $B$ $C$ $B$ $C$ $A = \{HT, TH\}$ $B\cap C = \{HT\}$ $A$ $B$ $C$ $B$ mas também para para manter), então e são de fato eventos independentes. A independência mútua de , e é umacondiçãosuficiente. $C$ $P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ $A$ $B\cap C$ $A$ $B$ $C$

$A$ $B\cap C$ $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $4$ $B\cap C, B\cap C^c, B^c\cap C, B^c\cap C^c$ $16$ $\sigma$ $B$ $C$ $B\cup C$

— Dilip Sarwate
fonte

B

$B$

C

$C$

P (B \cap C) = 0

$P(B\cap C)=0$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

A, B, C

$A,B,C$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

6

Duas coisas.

$A \cap (B\cup C)$ $(B\cup C)$

$P(X\cup Y)$

Mesmo que você não obtenha a resposta imediatamente, edite-a com as respostas para essas perguntas e nós iremos a partir daí.

editar

Por favor, verifique-me sobre isso. Eu acredito que tenho um contra-exemplo.

Rolar um dado para obter X.

A: X <4

B: X em {1, 4}

C: X em {1, 5}

— jlimahaverford
fonte

1

Eu iria por esta resposta! Tente resolver você mesmo! você não ganha muito apenas vendo a resposta!

— Gumeo 19/09/2015

2

De acordo com o comentário de Dilip Sarwate, esses eventos não são comprovadamente independentes.

A maneira típica de tentar provar a independência é assim:

\begin{aligned} P (A, B \cup C) & = P ({A, B} \cup {A, C}) & distributive property \\ = P (A, B) + P (A, C) - P (A, B, C) & sum rule \end{aligned}

$\begin{align*} P(A, B \cup C) & = P(\{A, B\} \cup \{A, C\}) & \text{distributive property} \\ & = P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) & \text{sum rule} \end{align*}$

$P(A)$ $P(A, B \cup C) = P(A)P(B \cup C)$

P (A, B) + P (A, C) - P (A, B, C) = P (A) {P (B) + P (C) - P (B, C | A)}

$P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) = P(A) \{ P(B) + P(C) - P(B,C \, | \, A) \}$

$P(B) + P(C) - P(B,C)$ $P(B,C \, | \, A)$

$P(B, C \, | \, A) = P(A)P(B, C)$

Mas, como é difícil demonstrar independência dessa maneira, um bom próximo passo é procurar um contra-exemplo, ou seja, algo que falsifique a reivindicação de independência. O comentário de Dilip Sarwate sobre o OP inclui exatamente esse exemplo.

— jtobin
fonte

P (A, B, C)

$P(A,B,C)$

P (A) P (B, C)

$P(A)P(B,C)$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

B

$B$

C

$C$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

=

$=$

\neq

$\neq$

OK, +1 para corrigir sua resposta.

— precisa saber é o seguinte

1

$P[A \cap(B \cup C)]=P[(A \cap B) \cup (A \cap C)]=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[( A \cap B)\cap (A \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A \cap B \cap C)$

$P(A)*P(B \cup C)=P(A)[P(B)+P(C)-P(B \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A)*P( B \cap C)$

$P(A \cap B \cap C)=P(A)*P( B \cap C)$

$A, B,C$

$A$ $B$ $A$ $C$ $B$ $C$

Portanto, o OP pode precisar reexaminar a condição da pergunta.

— Norte profundo
fonte

- P (A) P (B \cap C)

$-P(A)P(B\cap C)$

- P (A \cap B \cap C)

$-P(A\cap B \cap C)$

P (A) P (B \cap C)

$P(A)P(B\cap C)$

P (A \cap B \cap C)

$P(A\cap B \cap C)$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

Obrigado, é um assumido independente que pode não estar correto.

— Deep North

-1

P {A (B + C)} = P (AB + BC) = P (AB) + P (AC) -P (ABC) = P (A) P (B) + P (A) P (C) - P (A) P (BC) [A, B, C são mutuamente independentes] = P (A) [P (B) + P (C) -P (BC)] = P (A) P (B + C) Portanto, A e B + C são independentes.

— Srishti Mondal
fonte