Processos de pontos de mistura e divisão

Na figura a seguir, no lado esquerdo, duas realizações de processos pontuais com diferentes densidades (intensidade) e estão sendo misturadas, correspondendo ao centro das áreas pertencentes, para construir um processo pontual no meio com intensidade . Em seguida, pontos selecionados aleatoriamente como dois conjuntos extraídos, como mostrado no lado direito. Perguntas: é ? e ? Se dois no lado esquerdo eram Poisson PP, o do meio é um Poisson PP? E os dois do lado direito?$\lambda_1$$\lambda_2$$\lambda$

$\lambda=\lambda_1+\lambda_2$$\lambda=\lambda_3+\lambda_4$

Para responder a essa pergunta, precisamos de um pouco de histórico e notação. Na terminologia geral, vamos$N$ denota um processo pontual no plano, o que significa que, para qualquer conjunto de Borel, $A$, no avião, $N(A)$é um valor inteiro (incluindo ) variável aleatória, que conta o número de pontos em . Além disso, é uma medida para cada realização do processo de ponto .$+\infty$$A$$A \mapsto N(A)$$N$

Associada ao processo pontual está a medida de expectativa onde a expectativa é sempre bem definida, pois

$$A \mapsto \mu(A) := E(N(A))$$ $N(A) \geq 0$, mas talvez $+\infty$. É deixado como um exercício verificar se$\mu$é novamente uma medida. Para evitar problemas técnicos, vamos supor que$\mu(\mathbf{R}^2) < \infty$, o que também é razoável se o processo realmente residir apenas em um conjunto limitado, como a caixa na figura que o OP postou. Implica que$N(A) < \infty$ como para todos $A$.

As definições e observações a seguir seguem.

• Dizemos que $N$tem intensidade $\lambda$ E se $\mu$ tem densidade $\lambda$ com a medida de Lebesgue, isto é, se $$\mu(A) = \int_A \lambda(x) \mathrm{d}x.$$
• E se $N_1$ e $N_2$são processos de dois pontos, definimos a superposição como a soma$N_1 + N_2$. Isso é equivalente à sobreposição de um padrão de pontos em cima do outro.
• E se $N_1$ e $N_2$ são processos de dois pontos (independentes ou não) com intensidades $\lambda_1$ e $\lambda_2$ então a superposição tem intensidade $\lambda_1 + \lambda_2$.
• E se $N_1$ e $N_2$Como processos independentes de Poisson, a superposição é um processo de Poisson. Para mostrar isso, primeiro observamos que$N_1(A) + N_2(A)$ é Poisson das propriedades de convolução da distribuição de Poisson e, em seguida, se $A_1, \ldots, A_n$são disjuntos então$N_1(A_1) + N_2(A_1), \ldots, N_1(A_n) + N_2(A_n)$são independentes porque$N_1$ e $N_2$são independentes e os processos de Poisson. Essas duas propriedades caracterizam um processo de Poisson.

Resumo I: Mostramos que sempre que um processo pontual é uma soma ou superposição de processos pontuais com intensidades, a superposição tem como intensidade a soma das intensidades. Além disso, se os processos são independentes de Poisson, a superposição é Poisson.

Para a parte restante da questão, assumimos que $N(\{x\}) \leq 1$ como para todos os conjuntos singleton $\{x\}$. Então o processo pontual é chamado de simples. Os processos de Poisson com intensidades são simples. Para um processo pontual simples, há uma representação de$N$ Como

$$N = \sum_i \delta_{X_i},$$ isto é, como uma soma das medidas de Dirac nos pontos aleatórios. E se$Z_i \in \{0,1\}$são variáveis ​​aleatórias de Bernoulli, um desbaste aleatório é o processo pontual simples $$N_1 = \sum_i Z_i \delta_{X_i}.$$ É bastante claro que, com $$N_2 = \sum_i (1-Z_i) \delta_{X_i}$$ sustenta que $N = N_1 + N_2$. Se fizermos iid afinamento aleatório, o que significa que a$Z_i$são todos independentes e distribuídos de forma idêntica com probabilidade de sucesso $p$digamos então
$$N_1(A) \mid N(A) = n \sim \text{Bin}(n, p).$$ A partir disso, $$E(N_1(A)) = E \big(E(N_1(A) \mid N(A))\big) = E(N(A)p) = p \mu(A).$$

E se $N$ é um processo de Poisson, deve ficar claro que, por disjunção $A_1, \ldots, A_n$ então $N_1(A_1), \ldots, N_1(A_n)$ são novamente independentes e

$$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k) & = & \sum_{n=k}^{\infty} P(N_1(A) = k \mid N(A) = n)P(N(A) = n) \\ & =& e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k} \frac{\mu(A)^n}{n!} \\ & = & \frac{(p\mu)^k}{k!}e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{((1-p)\mu(A))^{n-k}}{(n-k)!} \\ & = & \frac{(p\mu(A))^k}{k!}e^{-\mu(A) + (1-p)\mu(A)} = e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!}. \end{array}$$ Isto mostra que $N_1$é um processo de Poisson. Similarmente,$N_2$ é um processo de Poisson (com medida média $(1-p)\mu$) O que resta é mostrar que$N_1$ e $N_2$são, de fato, independentes. Cortamos uma esquina aqui e dizemos que é realmente suficiente mostrar que$N_1(A)$ e $N_2(A)$ são independentes para arbitrário $A$, e isso decorre de $$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k, N_2(A) = r) & = & P(N_1(A) = k, N(A) = k + r) \\ & = & P(N_1(A) = k \mid N(A) = k + r) P(N(A) = k + r) \\ & = & e^{-\mu(A)} {k+r \choose k} p^k(1-p)^{r} \frac{\mu(A)^{k+r}}{(k+r)!} \\ & = & e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!} e^{-(1-p)\mu(A)}\frac{((1-p)\mu(A))^r}{r!} \\ & = & P(N_1(A) = k)P(N_2(A) = r). \end{array}$$

Resumo II: Concluímos que o desbaste aleatório com probabilidade de sucesso$p$ de um processo pontual simples, $N$com intensidade $\lambda$ resulta em dois processos pontuais simples, $N_1$ e $N_2$, com intensidades $p\lambda$ e $(1-p)\lambda$, respectivamente, e $N$ é a superposição de $N_1$ e $N_2$. Além disso, se$N$ é um processo de Poisson então $N_1$ e $N_2$ são processos independentes de Poisson.

É natural perguntar se poderíamos emagrecer independentemente, sem assumir que o $Z_i$são identicamente distribuídos e obtêm resultados semelhantes. Isso é possível, mas um pouco mais complicado de formular, porque a distribuição de$Z_i$ então tem que estar ligado ao $X_i$de alguma forma. Por exemplo,$P(Z_i = 1 \mid N) = p(x_i)$ para uma determinada função $p$. É então possível mostrar o mesmo resultado acima, mas com a intensidade$p\lambda$ significando a função $p(x)\lambda(x)$. Ignoramos a prova. A melhor referência matemática geral que abrange processos de pontos espaciais é Daley e Vere-Jones . Um segundo próximo, cobrindo estatísticas e algoritmos de simulação, em particular, é Møller e Waagepetersen .